|
Учебник для студентов физических и механико-математических специальностей вузов написан на основе курса лекций, читаемого автором в Московском физико-техническом институте. Фактически принят как учебное пособие в некоторых втузах с повышенной программой по математике.
Книга содержит дифференциальное и интегральное исчисления функций одной и многих переменных, теорию поля, ряды и интегралы Фурье, начала теории банаховых пространств и обобщенные функции.
Учебник исчерпывает соответствующую часть программы по математике на получение звания бакалавра.
Пятое издание — 2000 г.
Из предисловия:
Данная книга представляет собой улучшенное сокращение четвертого издания книги "Курс математического анализа", вышедшей в 1990г. в издательстве "Наука" в двух томах. Изменению подверглись главы 2 и б, а также § 7.22 о локальном относительном экстремуме. Добавлено рассмотрение вопросов линеаризации решений нелинейных уравнений и нелинейных систем уравнений. Этот учебник соответствует, если не считать некоторых добавлений, программе курса математического анализа, читанного мною на протяжении 50 лет в Московском физико-техническом институте (МФТИ)
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие........................................................................................................ 9
Глава 1. Введение..................................................................................... ..... 11
§ 1.1. Вступление....................................................................................... ...... 11
§ 1.2. Множество. Интервал, отрезок...................................................... 11
§ 1.3. Функция............................................................................................ ...... 14
§ 1.4. Понятие непрерывности функции.................................................. ...... 24
§ 1.5. Производная..................................................................................... 27
§ 1.6. Первообразная. Неопределенный интеграл.................................. 33
§ 1.7. Понятие определенного интеграла. Площадь криволинейной
фигуры.............................................................................................. ..... 36
Глава 2. Действительное число............................................................. ...... 41
§ 2.1. Рациональные и иррациональные числа........................................ ...... 41
§ 2.2. Определение неравенства................................................................ 46
§ 2.3. Основная лемма. Определение арифметических действий............ ...... 46
§ 2.4. Основные свойства действительных чисел.................................... 49
§2.5. Изоморфизм различных представлений действительных чисел.
Физические величины ..................................................................... ...... 52
§ 2.6. Неравенства для абсолютных величин........................................... ...... 54
§ 2.7. Точные верхняя и нижняя грани множества................................. ...... 55
§ 2.8. Символика математической логики................................................ ...... 56
Глава 3. Предел последовательности.................................................... ...... 58
§ 3.1. Понятие предела последовательности .......................................... 58
§ 3.2. Арифметические действия с пределами......................................... 62
§ 3.3. Бесконечно малая и бесконечно большая величины..................... 64
§3.4. Существование предела у монотонной ограниченной последо
вательности ...................................................................................... ...... 66
§ 3.5. Число е.............................................................................................. ...... 68
§3.6. Леммы о вложенных отрезках, существовании точных граней
множества и сечения во множестве действительных чисел .... 69
§3.7. Теорема Больцано-Вейерштрасса. Верхний и нижний пределы 71
§ 3.8. Критерий Коши существования предела....................................... 76
§ 3.9. Счетное множество. Счетность множества рациональных чи
сел. Несчетность множества действительных чисел...................... ...... 77
Глава 4. Предел функции......................................................................... ...... 80
§4.1. Понятие предела функции .............................................................. 80
§ 4.2. Непрерывность функции в точке ................................................. 88
§ 4.3. Пределы функции справа и слева. Монотонная функция........... ...... 94
§ 4.4. Функции, непрерывные на отрезке................................................ 98
§ 4.5. Обратная функция.......................................................................... 101
§ 4.6. Показательная и логарифмическая функции................................ 104
§ 4.7. Степенная функция х ................................................................... 109
§ 4.8. Еще о числе е.................................................................................... ПО
§ 4.9. lim ^.................................................................................................. 111
§ 4.10. Порядок переменной, эквивалентность (асимптотика)................. 112
Глава 5. Дифференциальное исчисление для функций одной
переменной.................................................................................................... 117
§ 5.1. Производная.................................................................................... 117
§ 5.2. Дифференциал функции.................................................................. .... 121
§ 5.3. Производная функции от функции............................................... .... 124
§ 5.4. Производная обратной функции.................................................... 125
§ 5.5. Таблица производных простейших элементарных функций .... 128
§ 5.6. Производные и дифференциалы высшего порядка..................... .... 129
§ 5.7...... Возрастание и убывание функции на интервале и в точке. Ло
кальный экстремум ......................................................................... 133
§ 5.8. Теоремы о среднем значении. Критерии возрастания и убыва
ния функции на интервале. Достаточные критерии локальных
экстремумов..................................................................................... .... 135
§ 5.9. Формула Тейлора............................................................................ .... 139
§ 5.10. Формула Тейлора для важнейших элементарных функций .... 146
§ 5.11. Ряд Тейлора...................................................................................... 151
§ 5.12. Выпуклость кривой в точке. Точка перегиба............................... .... 155
§ 5.13. Выпуклость кривой на отрезке...................................................... 157
§ 5.14. Раскрытие неопределенностей....................................................... .... 159
§ 5.15. Асимптота.......................................................................................... 163
§ 5.16. Схема построения графика функции.............................................. 166
§ 5.17. Кусочно непрерывные и кусочно гладкие функции ................... 170
Глава 6. n-мерное пространство. Геометрия кривой.............................. 172
§ 6.1. гг-мерное пространство. Линейное множество............................. .... 172
§ 6.2...... Евклидово гг-мерное пространство. Пространство со скаляр
ным произведением.......................................................................... 173
§ 6.3. Линейное нормированное пространство ...................................... .... 176
§ 6.4. Вектор-функция в гг-мерном евклидовом пространстве ........... .... 177
§ 6.5. Непрерывная кривая. Гладкая кривая.......................................... .... 179
§ 6.6. Геометрический смысл производной вектор-функции................ 183
§ 6.7. Длина дуги кривой........................................................................... 184
§ 6.8. Касательная...................................................................................... .... 187
§ 6.9. Основной триэдр кривой .............................................................. 188
§ 6.10. Соприкасающаяся плоскость ........................................................ .... 191
§ 6.11. Кривизна и радиус кривизны кривой........................................... 192
§ 6.12. Эволюта.............................................................................................. ... 194
§ 6.13. Формулы Френе. Свойства эволюты............................................... 196
Глава 7. Дифференциальное исчисление функций многих пе
ременных ....................................................................................................... 200
§ 7.1. Открытое множество........................................................................ .... 200
§ 7.2. Предел функции................................................................................ ... 202
§ 7.3. Непрерывная функция..................................................................... .... 206
§ 7.4. Частные производные и производная по направлению ................ 210
§ 7.5. Дифференцируемая функция. Касательная плоскость ................ .... 211
§ 7.6. Производная сложной функции. Производная по направлению.
Градиент............................................................................................ 215
§ 7.7. Независимость от порядка дифференцирования........................... 220
§ 7.8. Дифференциал функции. Дифференциал высшего порядка .... 222
§ 7.9. Теорема Больцано-Вейерштрасса .................................................. 226
§ 7.10. Замкнутые и открытые множества.................................................. 227
§ 7.11. Функции на множестве. Свойства непрерывных функций
на замкнутом ограниченном множестве......................................... .... 229
§ 7.12. Лемма о вложенных прямоугольниках и лемма Бореля................ .... 233
§7.13. Формула Тейлора............................................................................. 234
§ 7.14. Локальный (абсолютный) экстремум функции.............................. ... 237
§ 7.15. Теоремы существования неявной функции................................... .... 241
§ 7.16. Теорема существования решения системы уравнений.................. ... 247
§ 7.17. Отображения..................................................................................... .... 251
§7.18. Гладкая поверхность ........................................................................ 255
§ 7.19. Дифференциалы неявных функций. Линеаризация ...................... 257
§ 7.20. Локальный относительный экстремум............................................ 259
§ 7.21. Замена переменных в частных производных................................... ... 267
§ 7.22. Система зависимых функций............................................................ 270
Глава 8. Неопределенные интегралы. Алгебра многочленов 272
§ 8.1. Введение. Методы замены переменной и интегрирования по
частям................................................................................................ ... 272
§ 8.2. Комплексные числа........................................................................... .... 278
§ 8.3. Комплексные функции...................................................................... 283
§ 8.4. Многочлены...................................................................................... .... 285
§ 8.5. Разложение рациональной функции на простейшие дроби .... 288
§ 8.6. Интегрирование рациональных дробей.......................................... .... 293
§ 8.7. Интегрирование алгебраических иррациональностей................... .... 294
§ 8.8. Подстановки Эйлера......................................................................... .... 295
§ 8.9. Биномиальные дифференциалы. Теорема Чебышева.................... 297
§ 8.10. Интегрирование тригонометрических выражений......................... 298
§ 8.11. Тригонометрические подстановки................................................... ... 301
§ 8.12. Несколько важных интералов, не выражаемых в элементарных
функциях........................................................................................... 302
Глава 9. Определенный интеграл Римана.................................................. 303
§ 9.1. Вступление....................................................................................... 303
§ 9.2. Ограниченность интегрируемой функции.................................... .. 304
§ 9.3. Суммы Дарбу.................................................................................... . 305
§ 9.4. Основная теорема............................................................................ .. 306
§ 9.5. Теоремы о существовании интеграла от непрерывной и моно
тонной функции на [а, Ь] ............................................................... 309
§ 9.6. Аддитивные и однородные свойства интеграла............................. .. 310
§ 9.7. Неравенства и теорема о среднем................................................... . 312
§ 9.8. Интеграл как функция верхнего предела. Теорема Ньютона-
Лейбница .......................................................................................... 314
§ 9.9. Вторая теорема о среднем............................................................... 318
§ 9.10. Видоизменение функции................................................................. .. 318
§ 9.11. Несобственные интегралы.............................................................. 319
§ 9.12. Несобственные интегралы от неотрицательных функций............ 323
§ 9.13. Интегрирование по частям ............................................................ 325
§ 9.14. Несобственный интеграл и ряд....................................................... 327
§9.15. Несобственные интегралы с особенностями в нескольких точках 330
§ 9.16. Формула Тейлора с отстатком в интегральной форме................ .. 331
§ 9.17. Формулы Валлиса и Стирлинга..................................................... 332
Глава 10. Некоторые приложения интегралов. Приближен
ные методы..................................................................................................... 333
§ 10.1. Площадь в полярных координатах................................................. 333
§ 10.2. Объем тела вращения...................................................................... .. 334
§ 10.3. Длина дуги гладкой кривой............................................................. 335
§ 10.4. Площадь поверхности тела вращения............................................ 337
§ 10.5. Интерполяционный многочлен Лагранжа...................................... . 339
§ 10.6. Квадратурные формулы прямоугольников................................. .. 340
§ 10.7. Формула Симпсона.......................................................................... 341
Глава 11. Ряды.............................................................................................. 343
§ 11.1. Понятие ряда................................................................................... 343
§ 11.2. Действия с рядами............................................................................ 345
§ 11.3. Ряды с неотрицательными членами................................................ . 346
§ 11.4. Ряд Лейбница.................................................................................... . 350
§ 11.5. Абсолютно сходящиеся ряды.......................................................... . 350
§ 11.6. Условно и безусловно сходящиеся ряды с действительными
членами............................................................................................. .. 354
§ 11.7. Последовательности и ряды функций. Равномерная сходимость 356
§ 11.8. Интегрирование и дифференцирование равномерно сходящихся
рядов на отрезке ............................................................................. .. 362
§ 11.9. Кратные ряды. Перемножение абсолютно сходящихся рядов .. 368
§ 11.10. Суммирование рядов и последовательностей методом средних
арифметических ............................................................................... 371
§ 11.11. Степенные ряды............................................................................... 372
§ 11.12. Дифференцирование и интегрирование степенных рядов............ 377
§ 11.13. Степенные ряды функций ez, cosz, smz комплексной пере
менной .............................................................................................. 380
Глава 12. Кратные интегралы................................................................... 383
§ 12.1. Введение ........................................................................................... 383
§ 12.2. Мера Жордана................................................................................. ..... 385
§ 12.3. Важные примеры квадрируемых по Жордану множеств............ ..... 390
§ 12.4. Еще один критерий измеримости множеств. Полярные коорди
наты ................................................................................................... .... 392
§ 12.5. Другие случаи измеримости............................................................ ..... 393
§ 12.6. Понятие кратного интеграла........................................................... 394
§ 12.7. Верхняя и нижняя интегральные суммы. Основная теорема ..... 397
§ 12.8. Интегрируемость непрерывной функции на замкнутом измери
мом множестве. Другие критерии .............................................................. 403
§ 12.9. Свойства кратных интегралов ....................................................... .... 404
§ 12.10. Сведение кратного интеграла к интегрированию по отдельным
переменным....................................................................................... 406
§ 12.11. Непрерывность интеграла по параметру...................................... 412
§ 12.12. Геометрическая интерпретация знака определителя.................... 414
§12.13. Замена переменных в кратном интеграле. Простейший случай 415
§ 12.14. Замена переменных в кратном интеграле ..................................... 417
§ 12.15. Доказательство леммы 1 § 12.14...................................................... ... 420
§ 12.16. Полярные координаты в плоскости.............................................. .... 424
§ 12.17. Полярные и цилиндрические координаты в пространстве.......... 426
§ 12.18. Гладкая поверхность ...................................................................... 428
§ 12.19. Площадь поверхности..................................................................... ..... 431
Глава 13. Теория поля. Дифференцирование и интегрирова
ние по параметру. Несобственные интегралы........................................ 438
§ 13.1. Криволинейный интеграл первого рода........................................ 438
§ 13.2. Криволинейный интеграл второго рода........................................ 439
§ 13.3. Поле потенциала.............................................................................. .... 442
§ 13.4. Ориентация плоской области ........................................................ 450
§ 13.5. Формула Грина. Выражение площади через криволинейный
интеграл............................................................................................. .... 451
§ 13.6. Интеграл по поверхности первого рода........................................ .... 454
§ 13.7. Ориентация поверхностей ............................................................. 457
§ 13.8. Интеграл по ориентированной плоской области.......................... ..... 461
§ 13.9. Поток вектора через ориентированную поверхность.................. 463
§ 13.10. Дивергенция. Теорема Гаусса-Остроградского............................ 466
§ 13.11. Ротор вектора. Формула Стокса................................................... .... 472
§ 13.12. Дифференцирование интеграла по параметру............................... .... 476
§ 13.13. Несобственный интеграл ............................................................... 478
§ 13.14. Равномерная сходимость несобственного интеграла.................... 485
§ 13.15. Равномерно сходящийся интеграл для неограниченной области........ 491
Глава 14. Линейные нормированные пространства. Ортого
нальные системы................................................................................................. 498
§ 14.1. Пространство С непрерывных функций....................................... 498
§ 14.2. Пространства l! (L) ......................................................................... 500
§ 14.3. Пространство L2 (L2)....................................................................... .... 504
§ 14.4. Пространство Ь'р(П) (ЬР(П))........................................................... .... 507
§ 14.5. Полнота системы элементов в банаховом пространстве............... 507
§ 14.6. Ортогональная система в пространстве со скалярным произве
дением ............................................................................................... ... 507
§ 14.7. Ортогонализация системы.............................................................. ..... 515
§ 14.8. Полнота системы функций в С, L2 (L2) и L (L) ........................... .... 517
Глава 15. Ряды Фурье. Приближение функций полиномами 519
§ 15.1. Предварительные сведения ........................................................... 519
§ 15.2. Сумма Дирихле................................................................................ 525
§ 15.3. Формулы для остатка ряда Фурье................................................ 527
§ 15.4. Теоремы об осцилляции................................................................. ..... 530
§ 15.5. Критерий сходимости рядов Фурье. Полнота тригонометричес
кой системы функций....................................................................... 534
§ 15.6. Комплексная форма записи ряда Фурье........................................ 541
§ 15.7. Дифференцирование и интегрирование рядов Фурье.................. .... 544
§ 15.8. Оценка остатка ряда Фурье............................................................ 546
§ 15.9. Алгебраические многочлены. Многочлены Чебышева................. ..... 548
§ 15.10. Теорема Вейерштрасса..................................................................... 549
§ 15.11. Многочлены Лежандра.................................................................... 550
Глава 16. Интеграл Фурье. Обобщенные функции............................... .... 553
§ 16.1. Понятие интеграла Фурье ............................................................. 553
§ 16.2. Сходимость простого интеграла Фурье к порождающей его
функции............................................................................................ 556
§ 16.3. Преобразование Фурье. Повторный интеграл Фурье. Косинус-
и синус-преобразования Фурье...................................................... 558
§ 16.4. Производная преобразования Фурье............................................ .... 562
§ 16.5. Обобщенные функции в смысле D................................................. 563
§ 16.6. Пространство S................................................................................ 570
§ 16.7. Пространство Sf обобщенных функций......................................... 574
Предметный указатель........................................................................................... ..... 583
| 
