В первом томе излагаются традиционные разделы математического анализа: дифференциальное и интегральное исчисления функций одной переменной, теория рядов.

Во втором томе излагаются традиционные разделы математического анализа: дифференциальное и интегральное исчисления функций многих переменных, гармонический анализ. В конце тома помещен краткий исторический очерк развития понятий математического анализа. Нумерация параграфов и рисунков продолжает нумерацию первого тома.

 

 

Том 1.  ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 8
ГЛАВА 1
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
§ 1. Функции и множества 11
1.1. Множества (11). 1.2. Функции (13).
§ 2. Числа 15
2.1. Действительные числа (15). 2.2. Расширенная числовая прямая. Окрестности (19). 2.3. Комплексные числа (20). 2.4. Перестановки и сочетания (29). 2.5. Формула бинома Ньютона (31).
§ 3. Элементарные функции 32
3.1. Числовые функции (32). 3.2. Понятие элементарной функции (33). 3.3. Многочлены (34). 3.4. Разложение многочленов на множители (37). 3.5. Рациональные дроби (40) 3.6. Графики рациональных функций (45). 3.7. Степенная функция (48). 3.8. Показательная и логарифмическая функции (50). 3.9. Тригонометрические и обратные тригонометрические функции (51). 3.10. Параллельный перенос и растяжение графиков (54).
§ 4. Числовые множества 55
4.1. Ограниченные и неограниченные множества (55). 4.2. Верхняя и нижняя грани (56). 4.3*. Арифметические свойства верхних и нижних граней (58). 4.4. Принцип Архимеда (61). 4.5. Принцип вложенных отрезков (61). 4.6*. Счетность рациональных чисел. Несчетность действительных чисел (63).
§ 5. Предел числовой последовательности 67
5.1. Определение предела числовой последовательности (67). 5.2. Единственность предела последовательности (71). 5.3. Переход к пределу в неравенствах (71). 5.4. Ограниченность сходящихся последовательностей (74). 5.5. Бесконечно малые последовательности (75). 5.6. Свойства пределов, связанные с арифметическими действиями над числовыми последовательностями (77). 5.7. Монотонные последовательности (80). 5.8. Принцип компактности (83). 5.9. Критерий Коши (86). 5.10*. Изображение действительных чисел бесконечными десятичными дробями (88). 5.11. Предел последовательности комплексных чисел (94).
§ 6. Предел и непрерывность функций 95
6.1. Первое определение предела функции (95). 6.2. Определение непрерывности функции (100). 6.3. Второе определение предела функции (101). 6.4. Условие существования предела функции (103). 6.5. Предел функции по объединению множеств (104). 6.6. Односторонние пределы и односторонняя непрерывность (105). 6.7. Свойства пределов функций (107). 6.8. Бесконечно малые (110). 6.9. Непрерывные функции (111). 6.10. Классификация точек разрыва (114). 6.11. Пределы монотонных функций (115). 6.12. Критерий Коши существования предела функции (118). 6.13. Предел и непрерывность композиции функций (119). 6.14. Предел и непрерывность функций комплексного аргумента (120).
§ 7. Свойства непрерывных функций 122
7.1. Ограниченность непрерывных функций. Достижимость экстремальных значений (122). 7.2. Промежуточные значения непрерывных функций (123). 7.3. Обратные функции (124). 7.4. Равномерная непрерывность (128).
§ 8. Непрерывность элементарных функций 130
8.1.Многочлены и рациональные функции (130). 8.2. Показательная и логарифмическая функции (131). 8.3. Степенная функция (138). 8.4. Тригонометрические и обратные тригонометрические функции (139). 8.5. Элементарные функции (140).
§ 9. Сравнение функций 140
9.1. Замечательные пределы (140). 9.2. Сравнение функций в окрестности заданной точки (143). 9.3. Эквивалентные функции (146).
§ 10. Производная и дифференциал 148
10.1. Определение производной (148). 10.2. Дифференциал функции (150). 10.3. Геометрический смысл производной и дифференциала (152). 10.4. Физический смысл производной и дифференциала (154). 10.5. Свойства производных, связанные с арифметическими действиями над функциями (155). 10.6. Производная обратной функции (157). 10.7. Производная и дифференциал сложной функции (158). 10.8. Гиперболические функции и их производные (160). 10.9. Производные комплекснозначных функций действительного аргумента (160).
§ 11. Производные и дифференциалы высших порядков 161
11.1. Производные высших порядков (161). 11.2. Производные высших порядков сложных функций, обратных функций и функций, заданных параметрически (163). 11.3. Дифференциалы высших порядков (164).
§ 12. Дифференциальные теоремы о среднем 165
12.1. Теорема Ферма (165). 12.2. Теоремы Ролля, Лагранжа и Коши о средних значениях (167).
§13. Раскрытие неопределенностей по правилу Лопиталя 172
13.1. Неопределенности вида jj (172). 13.2. Неопределенности вида ^ (173).
§ 14. Формула Тейлора 178
14.1. Вывод формулы Тейлора (178). 14.2. Примеры разложения по формуле Тейлора (182). 14.3*. Применение метода выделения главной части функций для вычисления пределов (185).
§ 15. Исследование функций 186
15.1. Признак монотонности функций (186). 15.2. Локальные экстремумы функций (187). 15.3. Выпуклость и точки перегиба (194). 15.4. Асимптоты (198). 15.5*. Построение графиков функций (200).
§ 16. Векторные функции 201
16.1.Предел и непрерывность векторной функции (201). 16.2. Производная и дифференциал векторной функции (205).
§ 17. Длина кривой 211
17.1. Понятие кривой (211). 17.2. Касательная к кривой (216). 17.3. Определение длины кривой. Спрямляемые кривые (218).
§ 18. Кривизна кривой 223
18.1. Определение кривизны и радиуса кривизны кривой (223). 18.2. Формула для кривизны (224). 18.3. Главная нормаль. Соприкасающаяся плоскость (225). 18.4. Центр кривизны. Эволюта (228). 18.5. Кривизна и эволюта плоской кривой (229).
ГЛАВА 2
ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
§ 19. Определение и свойства неопределенного интеграла 233
19.1.Первообразная и неопределенный интеграл (233). 19.2. Основные свойства интеграла (235). 19.3. Табличные интегралы (237). 19.4. Формула замены переменной (238) 19.5. Формула интегрирования по частям (241).
§ 20. Интегрирование рациональных дробей 242
20.1. Интегрирование элементарных рациональных дробей (242). 20.2. Общий случай (244).
§ 21. Интегрирование некоторых иррациональностей 244
21.1. Рациональные функции от функций (244). 21.2. Интегралы виДа/Я(^МГ'-'(^Г) <М245)- 21.3* Интегралы от дифференциального бинома (246).
§ 22. Интегрирование некоторых трансцендентных функций 247
22.1. Интегралы f R(sinx, cos ж) dx (247). 22.2. Интегралы J sinm x cosn x dx (248). 22.3. Интегралы J sin ax cos f3x dx, J sin ax sin f3xdx, J cos ax cos f3x dx (249). 22.4. Интегралы от трансцендентных функций, вычисляющиеся с помощью интегрирования по частям (250).
§ 23. Определенный интеграл 251
23.1.Определенный интеграл Римана (251). 23.2. Ограниченность интегрируемых функций (253). 23.3. Верхние и нижние суммы Дарбу (255). 23.4. Нижний и верхний интегралы (258). 23.5. Необходимые и достаточные условия интегрируемости функций (259). 23.6. Интегрируемость непрерывных и монотонных функций (260).
§ 24. Свойства интегрируемых функций 262
24.1.Основные свойства определенного интеграла (262). 24.2. Интегральная теорема о среднем (271).
§ 25. Определенный и неопределенный интегралы 274
25.1. Дифференцирование определенного интеграла по пределам интегрирования (274). 25.2. Существование первообразной (276).
§ 26. Формулы замены переменной и интегрирования по частям в определенном интеграле 278
26.1. Формула замены переменной (278). 26.2. Формула интегрирования по частям (279).
§ 27. Площади и объемы 282
27.1. Понятие площади плоского множества (282). 27.2*. Пример неограниченного множества положительной конечной пло¬щади (283). 27.3. Понятие объема (285).
§ 28. Геометрические и физические приложения определенного интеграла 286
28.1. Вычисление площадей криволинейных трапеций (286). 28.2. Вычисление площадей в полярных координатах. (288). 28.3. Вычисление длины кривой (290). 28.4. Площадь поверхности вращения (290). 28.5. Объем тел вращения (294). 28.6*. Теоремы Гульдина. Центры тяжести плоских фигур и их моменты относительно осей (294).
§ 29. Несобственные интегралы 299
29.1. Определение несобственных интегралов (299). 29.2. Формулы интегрального исчисления для несобственных интегралов (304). 29.3. Несобственные интегралы от неотрицательных функций (307). 29.4. Критерий Коши (312). 29.5. Абсолютно сходящиеся интегралы (313). 29.6. Признаки сходимости Дирихле и Абеля (316). 29.7. Интегралы от комплекснозначных функций действительного аргумента (319).
ГЛАВА 3

РЯДЫ
§ 30. Числовые ряды 321
30.1. Определение ряда (321). 30.2. Свойства сходящихся рядов (322). 30.3. Критерий Коши (324). 30.4. Признаки сходимости рядов с неотрицательными членами (325). 30.5. Знакочередующиеся ряды (332). 30.6. Абсолютно сходящиеся ряды (334). 30.7. Условно сходящиеся ряды (338). 30.8*. Признаки сходимости рядов Дирихле и Абеля (342). 30.9. Исследование сходимости рядов методом выделения главной части ряда (345). 30.10. Суммирование рядов методом средних арифметических (347).
§ 31. Функциональные последовательности и ряды 349
31.1. Сходимость функциональных последовательностей и рядов (349). 31.2. Равномерная сходимость функциональных последовательностей и рядов (351). 31.3*. Специальные признаки равномерной сходимости рядов (359). 31.4. Свойства равномерно сходящихся последовательностей и рядов (362).
§ 32. Степенные ряды 369
32.1. Радиус сходимости и круг сходимости (369). 32.2. Аналитические функции в действительной области (376). 32.3. Разложение функций в степенные ряды. Различные способы записи остаточного члена формулы Тейлора (378). 32.4. Разложение элементарных функций в ряд Тейлора (383). 32.5. Формула Стир-линга (393).
Предметный указатель 395
 

 

Том 2.  ОГЛАВЛЕНИЕ
ГЛАВА 4
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
§ 33. Многомерные пространства 7
33.1. Определение n-мерного пространства (7). 33.2. Сходимость последовательностей точек в n-мерном пространстве (12). 33.3. Различные типы множеств (20). 33.4. Компакты (27).
§ 34. Предел и непрерывность отображений 34
34.1. Функции многих переменных (34). 34.2 Предел отображений (35). 34.3. Непрерывность отображений в точке (39). 34.4. Свойства пределов отображений (41). 34.5. Предел и непрерывность композиции отображений (42). 34.6. Повторные пределы (44).
§ 35. Непрерывные отображения множеств 45
35.1. Непрерывные отображения компактов. Равномерная непрерывность отображений (45). 35.2. Непрерывное отображение линейно связных множеств (48). 35.3. Непрерывные отображения: общие свойства (50).
§ 36. Частные производные. Дифференцируемость функций многих переменных 52
36.1. Частные производные (52). 36.2. Дифференцируемость функций многих переменных (53). 36.3. Дифференцирование сложной функции (61). 36.4. Инвариантность формы первого дифференциала (63). 36.5. Геометрический смысл частных производных и дифференциала (64). 36.6. Производная по направлению. Градиент (66).
§ 37. Частные производные и дифференциалы высших порядков .... 69 37.1 Частные производные высших порядков (69). 37.2. Дифференциалы высших порядков (71).
§ 38. Формула Тейлора для функций многих переменных 72
38.1. Формула Тейлора для функций двух переменных (72). 38.2. Формула Тейлора для функций любого числа переменных (75).
§ 39. Экстремумы функций многих переменных 78
39.1. Необходимые условия экстремума (78). 39.2. Достаточные условия экстремума (79).
§ 40. Неявные функции. Отображения 85
40.1. Неявные функции задаваемые одним уравнением (85). 40.2. Декартово произведение множеств (92). 40.3. Неявные функции, задаваемые системой уравнений (93). 40.4. Свойства якобианов отображений (97). 40.5. Непрерывно дифференцируемые отображения (98).
§41. Условный экстремум 103
41.1. Прямой метод отыскания точек условного экстремума (103). 41.2. Метод неопределенных множителей Лагранжа (105). 41.3. Достаточные условия для условного экстремума (107).
ГЛАВА 5
ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
§42. Кратные интегралы 112
42.1. Объем (мера) в n-мерном пространстве (112). 42.2. Множества меры нуль (128). 42.3. Разбиение измеримых множеств (131). 42.4. Интегральные суммы. Определение кратного интеграла (134). 42.5. Неполные интегральные суммы (136). 42.6. Существование кратного интеграла (139). 42.7. Свойства кратных интегралов (141)
§ 43. Сведение кратного интеграла к повторному 148
43.1. Сведение двойного интеграла к повторному (148). 43.2. Сведение интеграла произвольной кратности к повторному (153). 43.3. Объем n-мерного шара (155). 43.4. Независимость меры от выбора системы координат (156). 43.5*. Формулы Ньютона-Лейбница и Тейлора (158).
§ 44. Замена переменных в кратных интегралах 161
44.1. Линейные отображения (161). 44.2. Дифференцируемые отображения (165). 44.3 Формула замены переменного в кратном интеграле (174). 44.4 Геометрический смысл абсолютной величины якобиана отображения (181). 44.5. Криволинейные координаты. (182).
§ 45. Криволинейные интегралы 186
45.1. Криволинейный интеграл первого рода (186). 45.2. Криволинейный интеграл второго рода (188). 45.3*. Интеграл Стилтьеса (193). 45.4*. Обобщение понятия криволинейного интеграла второго рода (202). 45.5. Формула Грина (205). 45.6. Формула для площадей (210). 45.7. Геометрический смысл знака якобиана отображения плоской области (211).
§ 46. Элементы теории поверхностей 214
46.1. Основные определения (214). 46.2. Касательная плоскость и нормаль к поверхности (218). 46.3. Первая квадратичная форма поверхности (221). 46.4. Длина кривых на поверхности (222). 46.5. Площадь поверхности (223). 46.6. Ориентация поверхности (225).
§ 47. Поверхностные интегралы 228
47.1. Определения поверхностных интегралов (228). 47.2. Формулы для представления поверхностного интеграла второго рода в виде двойного интеграла (231). 47.3. Некоторые специальные случаи поверхностных интегралов второго рода (232).
§ 48. Скалярные и векторные поля 235
48.1. Основные понятия (235). 48.2. Формула Гаусса-Остроградского (238). 48.3. Геометрическое определение дивергенции (241). 48.4. Формула Стокса (242). 48.5. Геометрическое определение вихря (246). 48.6. Соленоидальные векторные поля (247). 48.7. Потенциальные векторные поля (249).
§ 49. Интегралы, зависящие от параметра 254
49.1. Равномерная сходимость по параметру семейства функций (254). 49.2. Свойства интегралов, зависящих от параметра (257).
§ 50. Несобственные интегралы, зависящие от параметра 261
50.1. Равномерно сходящиеся интегралы (261). 50.2. Свойства несобственных интегралов, зависящих от параметра (267). 50.3. Интегралы Эйлера (270). 50.4*. Интеграл Дирихле (271).
ГЛАВА 6

ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
§51. Тригонометрические ряды Фурье 274
51.1. Основные понятия (274). 51.2. Приближение функций ступенчатыми функциями (277). 51.3. Теорема Римана. Стремление коэффициентов Фурье к нулю (281). 51.4. Интеграл Дирихле. Принцип локализации (283). 51.5. Сходимость ряда Фурье в точке (287). 51.6. Суммирование рядов Фурье методом средних арифметических (292). 51.7. Приближение непрерывных функций многочленами (296).

§ 52. Функциональные пространства 299

52.1. Метрические пространства (299). 52.2. Линейные пространства (309). 52.3. Нормированные и полунормированные пространства (310). 52.4. Гильбертовы пространства (317). 52.5. Фактор-пространства (327). 52.6. Пространство Li (331). 52.7. Пространство L\ (339).
§ 53. Ряды Фурье в гильбертовых пространствах 341
53.1. Ортогональные системы (341). 53.2. Полные системы (345). 53.3. Ряды Фурье (349). 53.4. Дифференцирование тригонометрических рядов Фурье и порядок убывания их коэффициентов (360). 53.5. Скорость сходимости тригонометрических рядов (362). 53.6*. Ряды Фурье функций с произвольным периодом (364). 53.7*. Запись рядов Фурье в комплексной форме (365).
§ 54. Интеграл Фурье и преобразование Фурье 366
54.1. Представление функций интегралом Фурье (366). 54.2. Главное значение интеграла (372). 54.3. Преобразование Фурье (373). 54.4. Свойства преобразования Фурье абсолютно интегрируемых функций (377).
§ 55. Обобщенные функции 381
55.1. Пространства D и D' (381). 55.2. Дифференцирование обобщенных функций (385). 55.3. Пространство S (388). 55.4. Преобразование Фурье обобщенных функций (391).
Краткий очерк развития математического анализа 396
Предметный указатель 420