ОТ ИЗДАТЕЛЬСТВА
Книга Г. Полна и Г. Сеге «Задачи и теоремы из анализа», впервые вышедшая на немецком языке в 1925 г. и в русском переводе в 1937 — 1938 гг., давно уже стала настольной книгой математиков, работающих или только желающих овладеть навыками научной работы в области теории функций.

Книга неоднократно переиздавалась и была переведена также на английский язык. В 1956 г. вышло второе русское издание. Для настоящего третьего издания перевод заново отредактирован и сверен с третьим немецким изданием.

 

ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ

«Что значит преподавать? — Это значит систематически побуждать учащихся к собственным открытиям».
(Спенсер.)

В математической литературе (во французской еще больше, чем в немецкой) имеется много, частью прекрасных и богатых по материалу сборников задач, упражнений, повторительных курсов и т. п. Как нам кажется, настоящая книга от них всех отличается своей целью, материалом, его расположением, а также методом работы над ней, как мы его мыслим. Все эти моменты нуждаются поэтому в пояснении.

Главнейшей целью этой книги является приобщение лиц, достаточно продвинувшихся в изучении математики, к самостоятельному мышлению и исследованию в некоторых важных областях анализа путем решения систематически расположенных задач. Она должна служить для самодеятельного, активного изучения как в руках учащихся, так и преподавателей. Учащийся может пользоваться этой книгой либо для углубления материала, полученного при самостоятельном чтении или на лекциях, либо независимо от них, полностью прорабатывая отдельные ее части. Преподаватель может использовать ее для подготовки упражнений или семинарских занятий.

Настоящая книга отнюдь не представляет собой простого собрания задач. Главное заключается в расположении материала: оно должно побуждать читателя к самостоятельной работе и прививать ему целесообразные навыки математического мышления. Мы потратили на достижение возможно более эффективного расположения материала гораздо больше времени, старания и скрупулезной работы, чем это на первый взгляд могло бы показаться необходимым.

Сообщение ряда новых сведений интересовало нас само по себе лишь во вторую очередь. В первую очередь мы желали бы способствовать выработке у читателя правильных установок, известной дисциплины мышления, что при изучении математики необходимо еще в большей мере, чем при изучении других наук.

 

 

 

Часть 1. Ряды, интегральное исчисление, теория функций.
Содержание
От издательства.
Предисловие.
Обозначения и сокращения.
ОТДЕЛ ПЕРВЫЙ.
БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ И ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ.
Глава 1.
Вычисления со степенными рядами.
§ 1 (1—31). Задачи из аддитивной теории чисел. Вопрос и ответ.
§ 2 (32—43). Биномиальные коэффициенты и прочее. Вопрос и ответ.
§ 3 (44—49). Дифференцирование степенных рядов. Вопрос и ответ.
§ 4 (50—60). Определение, коэффициентов при помощи функциональных уравнений. Вопрос и ответ.
§ 5 (61—64). Мажорантные ряды. Вопрос и ответ.
Глава 2.
Преобразования рядов. Теорема Чезаро.
§ 1 (65—78). Преобразование последовательностей в последовательности в случае, когда в каждой строке схемы имеется только конечное число элементов, отличных от нуля. Вопрос и ответ.
§ 2 (79—82). Преобразование последовательностей в последовательности (общий случай). Вопрос и ответ.
§ 3 (83—97). Преобразования последовательностей в функции. Теорема Чезаро. Вопрос и ответ.
Глава 3.
Структура вещественных последовательностей и рядов.
§ 1 (98—112). Структура бесконечных последовательностей. Вопрос и ответ.
§ 2 (113—116). Показатель сходимости. Вопрос и ответ.
§ 3 (117—123). Максимальный член степенного ряда. Вопрос и ответ.
§ 4 (124—132). Части рядов. Вопрос и ответ.
§ 5 (133—137). Перестановки членов вещественного ряда. Вопрос и ответ.
§ 6 (138—139). Распределение знаков членов ряда. Вопрос и ответ.
Глава 4.
Смешанные задачи.
§ 1 (140—155). Обвертывающие ряды. Вопрос и ответ.
§2 (156—185). Прочие задачи, относящиеся к вещественным рядам. Вопрос и ответ.
ОТДЕЛ ВТОРОЙ.
ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ.
Глава 1.
Интеграл как предел сумм площадей прямоугольников.
§ 1 (1—7). Нижние и верхние суммы. Вопрос и ответ.
§ 2 (8—19). Степень приближения. Вопрос и ответ.
§ 3 (20—29). Несобственные, интегралы в конечных пределах. Вопрос и ответ.
§ 4 (30—40). Несобственные интегралы в бесконечных пределах. Вопрос и ответ.
§ 5 (41—47). Теоретико-числовые применения. Вопрос и ответ.
§ 6 (48—59). Средние значения. Произведения. Вопрос и ответ.
§ 7 (60—68). Кратные интегралы. Вопрос и ответ.
Глава 2.
Неравенства.
§ 1 (69—97). Неравенства. Вопрос и ответ.
Глава 3.
Из теории функций действительного переменного.
§ 1 (98—111). Интегрируемость в собственном смысле. Вопрос и ответ.
§ 2 (112—118). Несобственные интегралы. Вопрос и ответ.
§ 3 (119—127). Непрерывные, дифференцируемые, выпуклые функции. Вопрос и ответ.
§ 4 (128—146). Особые интегралы, теорема Вейерштрасса. Вопрос и ответ.
Глава 4.
Различные типы равномерного распределения.
§ 1 (147—161). Числовая функция. Регулярные последовательности. Вопрос и ответ.
§ 2 (162—165). Критерии равномерного распределения. Вопрос и ответ.
§ 3 (166—173). Распределение кратных иррационального числа. Вопрос и ответ.
§ 4 (174—184). Распределение цифр в таблице логарифмов и аналогичные задачи. Вопрос и ответ.
§ 5 (185—194). Другие типы равномерного распределения. Вопрос и ответ.
Глава 5.
Функции больших чисел.
§ 1 (195—209). Метод Лапласа. Вопрос и ответ.
§ 2 (210—217). Модификации метода Лапласа. Вопрос и ответ.
§ 3 (218—222). Асимптотическое вычисление некоторых максимумов. Вопрос и ответ.
ОТДЕЛ ТРЕТИЙ.
ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО. ОБЩАЯ. ЧАСТЬ.
Глава 1.
Комплексные числа и последовательности.
§ 1 (1—15). Области и кривые. Вычисления с комплексными числами. Вопрос и ответ.
§ 2 (16—27). Расположение корней алгебраических уравнений. Вопрос и ответ.
§ 3 (28—35). Продолжение: теорема Гаусса. Вопрос и ответ.
§ 4 (36—43). Комплексные числовые последовательности. Вопрос и ответ.
§ 5 (44—50). Продолжение: преобразования рядов. Вопрос и ответ.
§ 6 (51 —54). Изменение порядка членов в комплексных рядах. Вопрос и ответ.
Глава 2.
Отображения и векторные поля.
§1 (55—59). Дифференциальные уравнения Коши—Римана. Вопрос и ответ.
§ 2 (60—84). Специальные элементарные отображения. Вопрос и ответ.
§ 3 (85—102). Векторные поля. Вопрос и ответ.
Глава 3.
Геометрическое поведение функции.
§ 1 (103—116). Отображение окружности Кривизна и опорные функции. Вопрос и ответ.
§ 2 (117—123). Средние значения вдоль окружности. Вопрос и ответ.
§ 3 (124—129). Отображение круга. Площадь области, получаемой при отображении. Вопрос и ответ.
§ 4 (130—144). Поверхность модуля. Принцип максимума. Вопрос и ответ.
Глава 4.
Интеграл Коши. Принцип аргумента.
§ 1 (145—171). Интеграл Коши. Вопрос и ответ.
§ 2 (172—178). Формулы Пуассона и Иенсена. Вопрос и ответ.
§ 3 (179—193). Принцип аргумента. Вопрос и ответ.
§ 4 (194—206). Теорема Рушэ. Вопрос и ответ.
Глава 5.
Последовательности аналитических функций.
§ 1 (207—229). Ряд Лагранжа и его применения. Вопрос и ответ.
§ 2 (230—240). Вещественная часть степенного ряда. Вопрос и ответ.
§ 3 (241—247). Полюсы на границе круга сходимости. Вопрос и ответ.
§ 4 (248—250). Тождественное обращение в нуль степенных рядов. Вопрос и ответ.
§ 5 (251—258). Распространение сходимости. Вопрос и ответ.
§ 6 (259—262). Сходимость в разделенных областях. Вопрос и ответ.
§ 7 (263—265). Порядок возрастания последовательностей полиномов. Вопрос и ответ.
Глава 6.
Принцип максимума.
§ 1 (266—279). Различные формулировки принципа максимума. Вопрос и ответ.
§ 2 (280—298). Лемма Шварца. Вопрос и ответ.
§ 3 (299—310). Теорема Адамара о трех кругах. Вопрос и ответ.
§ 4 (311—321). Гармонические функции. Вопрос и ответ.
§ 5 (322—340). Метод Фрагмена и Линделёфа. Вопрос и ответ.
Предметный указатель.
 

 

 

Часть 2. Теория функций, распределение нулей полиномов, определители, теория чисел.

Содержание
Обозначения и сокращения.
ОТДЕЛ ЧЕТВЕРТЫЙ.
ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО. СПЕЦИАЛЬНАЯ ЧАСТЬ.
Глава 1.
Максимальный член и центральный индекс,
максимум модуля и число нулей.
§ 1 (1—40). Аналогия между μ(r) и М(r), v(r) и N(r). Вопрос и ответ.
§ 2 (41—47). Дальнейшие свойства функций μ(r) и v(r). Вопрос и ответ.
§ 3 (48—66). Связь между μ(r), v(r), М(r), N(r). Вопрос и ответ.
§ 4 (67—76). μ(r) и М(r) при специальных предположениях правильности роста. Вопрос и ответ.
Глава 2.
Однолистные конформные отображения.
§ 1 (77—83). Задачи подготовительного характера. Вопрос и ответ.
§ 2 (84—87). Теоремы единственности. Вопрос и ответ.
§ 3 (88—96). Существование отображающей функции. Вопрос и ответ.
§ 4 (97—120). Внутренний и внешний радиусы. Нормированная отображающая функция. Вопрос и ответ.
§5 (121—135). Связи между отображениями различных областей. Вопрос и ответ.
§ 6 (136—163). Теорема Кебе об искажении. Вопрос и ответ.
Глава 3.
Смешанные задачи.
§ 1 (164—174). Varia. Вопрос и ответ.
§ 2 (175—179). Об одном приеме Э.Ландау. Вопрос и ответ.
§ 3 (180—187). Прямолинейное приближение к существенно особой точке. Вопрос и ответ.
§ 4 (188—194). Асимптотические значения целых функций. Вопрос и ответ.
§ 5 (195—205). Дальнейшие приложения метода Фрагмена-Линделёфа. Вопрос и ответ.
ОТДЕЛ ПЯТЫЙ.
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ НУЛЕЙ.
Глава 1.
Теорема Ролля и правило Декарта.
§ 1 (1—21). Нули функций, перемены знака последовательностей. Вопрос и ответ.
§ 2 (22—27). Изменения знака функции. Вопрос и ответ.
§ 3 (28—41). Первое доказательство правила Декарта. Вопрос и ответ.
§ 4 (42—52). Применения правила Декарта. Вопрос и ответ.
§ 5 (53—76). Применения теоремы Ролля. Вопрос и ответ.
§ 6 (77—86). Доказательство правила Декарта, принадлежащее Лагерру. Вопрос и ответ.
§ 7 (87—91). На чем основывается правило Декарта? Вопрос и ответ.
§ 8 (92—100). Обобщения теоремы Ролля. Вопрос и ответ.
Глава 2.
Геометрические свойства нулей полиномов.
§ 1 (101—110). Центр тяжести системы точек относительно некоторой точки. Вопрос и ответ.
§ 2 (111—127). Центр тяжести полинома относительно некоторой точки. Теорема Лагерра. Вопрос и ответ.
§ 3 (128—156). Производная полинома относительно некоторой точки. Теорема Грэйса. Вопрос и ответ.
Глава 3.
Смешанные задачи.
§ 1 (157—182). Приближение нулей трансцендентных функций нулями рациональных. Вопрос и ответ.
§ 2 (183—189). Точное определение числа нулей при помощи правила Декарта. Вопрос и ответ.
§ 3 (190—196). Прочие задачи, относящиеся к нулям полиномов. Вопрос и ответ.
ОТДЕЛ ШЕСТОЙ.
ПОЛИНОМЫ И ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОЛИНОМЫ.
§ 1 (1—7). Полиномы Чебышева. Вопрос и ответ.
§ 2 (8—15). Общие сведения о тригонометрических полиномах. Вопрос и ответ.
§ 3 (16—28). Специальные тригонометрические полиномы. Вопрос и ответ.
§ 4 (29—38). Из теории рядов Фурье. Вопрос и ответ.
§ 5 (39—43). Неотрицательные тригонометрические полиномы. Вопрос и ответ.
§ 6 (44—49). Неотрицательные полиномы. Вопрос и ответ.
§ 7 (50—61). Максимумы и минимумы тригонометрических полиномов. Вопрос и ответ.
§ 8 (62—66). Максимумы и минимумы полиномов. Вопрос и ответ.
§ 9 (67—76). Интерполяционная формула Лагранжа. Вопрос и ответ.
§ 10 (77—83). Теоремы С.Бернштейна и А.Маркова. Вопрос и ответ.
§ 11 (84—102). Полиномы Лежандра и родственные им. Вопрос и ответ.
§ 12 (103—113). Прочие задачи на максимумы и минимумы полиномов. Вопрос и ответ.
ОТДЕЛ СЕДЬМОЙ.
ОПРЕДЕЛИТЕЛИ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ.
§ 1 (1—16). Вычисление определителей. Решение линейных уравнений. Вопрос и ответ.
S 2 (17—34). Разложение рациональных функций в степенные ряды. Вопрос и ответ.
§ 3 (35—43). Положительные квадратичные формы. Вопрос и ответ.
§ 4 (44—54). Смешанные задачи. Вопрос и ответ.
§ 5 (55—72). Определители систем функций. Вопрос и ответ.
ОТДЕЛ ВОСЬМОЙ.
ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ.
Глава 1.
Теоретико-числовые функции.
§ 1 (1—11). Задачи на целые части чисел. Вопрос и ответ.
§ 2 (12—20). Подсчет целых точек. Вопрос и ответ.
§3 (21—27). Одна теорема формальной логики и ее применения. Вопрос и ответ.
§ 4 (28—37). Части и делители. Вопрос и ответ.
§ 5 (38—42). Теоретико-числовые функции. Степенные ряды и ряды Дирихле. Вопрос и ответ.
§ 6 (43—64). Мультипликативные теоретико-числовые функции. Вопрос и ответ.
§ 7 (65—78). Ряды Ламберта и родственные им. Вопрос и ответ.
§ 8 (79—83). Дальнейшие задачи на подсчет целых точек. Вопрос и ответ.
Глава 2.
Целочисленные полиномы и целозначные функции.
§ 1 (84—93). Целочисленность и целозначность полиномов. Вопрос и ответ.
§ 2 (94—115). Целозначные функции и их простые делители. Вопрос и ответ.
§ 3 (116—129). Неприводимость полиномов. Вопрос и ответ.
Глава 3.
Теоретико-числовые свойства степенных рядов.
§ 1 (130—137). Подготовительные задачи о биномиальных коэффициентах. Вопрос и ответ.
§ 2 (138—148). К теореме Эйзенштейна. Вопрос и ответ.
§ 3 (149—154). К доказательству теоремы Эйзенштейна. Вопрос и ответ.
§ 4 (155—164). Целочисленные степенные ряды рациональных функций. Вопрос и ответ.
§ 5 (165—173). Теоретико-функциональные свойства целочисленных степенных рядов. Вопрос и ответ.
§ 6 (174—187). Степенные ряды, целочисленные в смысле Гурвица. Вопрос и ответ.
§ 7 (188—193). Значения степенных рядов, сходящихся в окрестности точки z==∞, в целочисленных точках. Вопрос и ответ.
Глава 4.
Об алгебраических целых числах.
§ 1 (194—203). Алгебраические целые числа. Поля. Вопрос и ответ.
§ 2 (204—220). Наибольший общий делитель. Вопрос и ответ.
§ 3 (221—227). Сравнения. Вопрос и ответ.
§ 4 (228—237). Теоретико-числовые свойства степенных рядов. Вопрос и ответ.
Глава 5.
Смешанные задачи.
§ 1 (238—244). Плоская квадратная целая решетка. Вопрос и ответ.
§ 2 (245—266). Смешанные задачи. Вопрос и ответ.
ОТДЕЛ ДЕВЯТЫЙ (приложение).
НЕКОТОРЫЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ.
(1—25). Вопрос и ответ.
Предметный указатель.