Книга содержит примеры решения почти всех типовых задач по высшей математике. Каждой задаче отведен отдельный раздел, содержащий общую постановку задачи, план ее решения с необходимыми теоретическими пояснениями и решение конкретного примера. Кроме того, в раздел включены десять задач для самостоятельного решения и ответы к ним.

Для студентов и преподавателей технических, экономических и сельскохозяйственных вузов; может быть использована как при очной, так и при дистанционной формах обучения.

 

Из предисловия:

В толковом словаре русского языка под редакцией профессора Д.Н. Ушакова сказано, что решебник — это учебное пособие, содержащее подробные решения задач, помещенных в каком-нибудь задачнике, ключ к задачнику. РЕШЕБНИК "Высшая математика" — ключ сразу к нескольким основным задачникам, используемым при изучения математики, среди которых в первую очередь следует упомянуть изданный в сотнях тысяч экземпляров "Сборник заданий по высшей математике (типовые расчеты)" Л. А. Кузнецова. В дополнение к этой книге распространяется пакет программ РЕШЕБНИК.ВМ, который помогает решать задачи, выполняя по указанию учащихся всевозможные математические действия.
 

ОГЛАВЛЕНИЕ
ПРЕДИСЛОВИЕ 7
Глава 1. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 11
1.1. Разложение вектора по базису 11
1.2. Коллинеарность векторов 13
1.3. Угол между векторами 14
1.4. Площадь параллелограмма 15
1.5. Компланарность векторов 17
1.6. Объем и высота тетраэдра 18
1.7. Расстояние от точки до плоскости 21
1.8. Уравнение плоскости с данным нормальным вектором .... 23
1.9. Угол между плоскостями 24
1.10. Канонические уравнения прямой 25
1.11. Точка пересечения прямой и плоскости 28
1.12. Проекция точки на плоскость или прямую 31
1.13. Симметрия относительно прямой или плоскости 33
Глава 2. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА 36
2.1. Правило Крамера 36
2.2. Обратная матрица 39
2.3. Понятие линейного пространства 41
2.4. Системы линейных уравнений 44
2.5. Линейные операторы 53
2.6. Матрица, образ, ядро, ранг и дефект оператора 55
2.7. Действия с операторами и их матрицами 59
2.8. Преобразование координат вектора 62
2.9. Преобразование матрицы оператора 65
2.10. Собственные значения и собственные векторы 68
Глава 3. ПРЕДЕЛЫ 71
3.1. Понятие предела последовательности 71
3.2. Вычисление limn_^00[Pfc(n)/Qm(n)] 73
3.3. Вычисление limn-+00[/(n)/p(n)] 75
3.4. Вычисление limn_+00[u(n)t;(n)] 77
3.5. Понятие предела функции 79
3.6. Понятие непрерывности функции в точке 82
3.7. Вычисление ]imx-+a[Pn(x)/Qm(x)] 84
3.8. Вычисление \imx->0[f(x)/g(x)] 86
3.9. Вычисление \imx->a[f(x)/g(x)] 88
3.10. Вычисление \imx->0[u(x)v{x)] 89
3.11. Вычисление \imx-+a[u(x)v{x)] 92
3.12. Вычисление lim^a F(u(x)v(x) + f(x)) 94
Глава 4. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ 97
4.1. Понятие производной 97
4.2. Вычисление производных 99
4.3. Уравнение касательной и нормали 102
4.4. Приближенные вычисления с помощью дифференциала .... 103
4.5. Логарифмическое дифференцирование 104
4.6. Производная функции, заданной параметрически 106
4.7. Касательная и нормаль к кривой, заданной параметрически . 108
4.8. Производные высших порядков 110
4.9. Формула Лейбница 112
4.10. Вторая производная функции, заданной параметрически ... 114
Глава 5. ГРАФИКИ ФУНКЦИЙ 117
5.1. Общая схема построения графика функции 117
5.2. Наибольшее и наименьшее значения функции 124
5.3. Исследование функции с помощью производных высших по¬рядков 126
Глава 6. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ ... 129
6.1. Частные производные 129
6.2. Градиент 131
6.3. Производная по направлению 133
6.4. Производные сложной функции 135
6.5. Производная неявной функции 138
6.6. Касательная плоскость и нормаль к поверхности 140
6.7. Экстремум функции двух переменных 142
Глав а 7. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 146
7.1. Интегрирование подведением под знак дифференциала .... 146
7.2. Интегрирование по частям 148
7.3. Интегрирование рациональных функций с простыми вещественными корнями знаменателя 150
7.4. Интегрирование рациональных функций с кратными вещественными корнями знаменателя 153
7.5. Интегрирование рациональных функций с простыми комплексными корнями знаменателя 157
7.6. Интегрирование выражений R(sinx, cos x) 161
7.7. Интегрирование выражений sin2m x cos2n x 165
7.8. Интегрирование выражений R(я, yff+3> yff+s, ...)... 167
7.9. Интегрирование выражений .R(:r, ч/ж2 — а2) 169
7.10. Интегрирование дифференциального бинома 172
Глава 8. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 175
8.1. Подведение под знак дифференциала 175
8.2. Интегрирование по частям 177
8.3. Интегрирование выражений R(sin я, cos х) 179
8.4. Интегрирование выражений sin2m я, cos2n x 183
8.5. Интегрирование выражений R(x, s/ff^, я/~$5' ...)... 185
8.6. Интегрирование выражений R(x, Va2±x2) и Д(ж, \/я2 - а2) 188
8.7. Вычисление площадей в декартовых координатах 190
8.8. Вычисление длин дуг у = f(x) 192
8.9. Вычисление длин дуг х = x(t), у = y(t) 194
8.10. Вычисление длин дуг Q = д(ц>) 196
8.11. Вычисление объемов по площадям поперечных сечений . . . 197
8.12. Вычисление объемов тел вращения 199
Глав а 9. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 202
9.1. Криволинейные интегралы первого рода 202
9.2. Криволинейные интегралы второго рода 207
Глава 10. РЯДЫ 211
10.1. Понятие суммы ряда 211
10.2. Первая теорема сравнения 214
10.3. Вторая теорема сравнения 217
10.4. Признак Даламбера * 219
10.5. Признак Коши .222
10.6. Интегральный признак Коши . . . 225
10.7. Признак Лейбница 227
10.8. Приближенное вычисление суммы ряда 229
10.9. Область сходимости функционального ряда 231
10.10. Область сходимости степенного ряда 234
10.11. Вычисление суммы ряда почленным интегрированием .... 237
10.12. Вычисление суммы ряда почленным дифференцированием . 241
10.13. Ряд Тейлора 245
10.14. Приближенные вычисления с помощью рядов 247
Глав а 11. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 251
11.1. Понятие решения 251
11.2. Уравнения с разделяющимися переменными 252
11.3. Однородные уравнения 255
11.4. Линейные уравнения 1-го порядка 257
11.5. Уравнение Бернулли 262
11.6. Уравнения в полных дифференциалах 265
11.7. Уравнения вида F(x,y{k\y{k+1)) = 0 269
11.8. Уравнения вида F(y,y',y") = 0 271
11.9. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами .... 274
11.10. Принцип суперпозиции 278
11.11. Метод Лагранжа 281
Г лав а 12. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 285
12.1. Изменение порядка интегрирования 285
12.2. Двойной интеграл в декартовых координатах 289
12.3. Двойной интеграл в полярных координатах 292
12.4. Интеграл в обобщенных полярных координатах 297
12.5. Вычисление объемов с помощью двойного интеграла .... 301
12.6. Вычисление площадей в декартовых координатах 304
12.7. Вычисление площадей в полярных координатах 307
12.8. Вычисление массы плоской пластины 310
12.9. Тройной интеграл в декартовых координатах 315
12.10. Тройной интеграл в цилиндрических координатах 318
12.11. Тройной интеграл в сферических координатах 321
12.12. Вычисление объемов с помощью тройного интеграла .... 325
12.13. Вычисление массы тела 328
Г лав а 13. ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 333
13.1. Поверхностный интеграл первого рода 333
13.2. Интеграл по цилиндрической поверхности 336
13.3. Интеграл по сферической поверхности 339
Глава 14. ТЕОРИЯ ПОЛЯ 342
14.1. Векторные линии 342
14.2. Поток векторного поля 344
14.3. Поток векторного поля через часть цилиндра 348
14.4. Поток векторного поля через часть сферы 351
14.5. Вычисление потока по формуле Остроградского 355
14.6. Работа силы 357
14.7. Циркуляция векторного поля 359
14.8. Вычисление циркуляции по формуле Стокса 361