|
Учебник соответствует требованиям Государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования. Для студентов инженерно-технических специальностей вузов.
В первом томе содержатся основные сведения по теории определителей и матриц, линейных систем уравнений, а также элементы векторной алгебры. Рассматриваются основные вопросы линейной алгебры: линейные операторы, самосопряженные операторы, квадратичные формы, линейное программирование. Включены элементы аналитической геометрии на плоскости и в пространстве.
Второй том содержит: введение в анализ, дифференциальное и интегральное исчисление функций одной переменной, дифференциальное исчисление функций нескольких переменных, ряды. Для студентов инженерно-технических специальностей вузов.
Третий том содержит: обыкновенные дифференциальные уравнения, кратные интегралы, векторный анализ, ряды и интеграл Фурье, простейшие задачи из теории уравнений математической физики, функции комплексного переменного, элементы операционного исчисления.
Том 1. СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие 4
§ 1. Определители второго порядка 7
§ 2. Определители третьего и n-го порядка.. 8
§ 3. Матрицы.. 22
§ 4. Система линейных уравнений. Теория Кронекера-Капелли.. 25
§ 5. Трехмерное пространство. Векторы. Декартова система координат 48
§ 6. n-мерное евклидово пространство. Скалярное произведение 59
§ 7. Отрезок. Деление отрезка в данном отношении 67
§ 8. Прямая линия 69
§ 9. Уравнение плоскости 80
§ 10. Прямая в пространстве 89
§ 11. Ориентация прямоугольных систем координат 93
§ 12. Векторное произведение 96
§ 13. Смешанное (векторно-скалярное) произведение....104
§ 14. Линейно независимая система векторов 105
§ 15. Линейные операторы 114
§ 16. Базисы в Rn 122
§ 17. Ортогональные базисы в Rn 128
§ 18. Инвариантные свойства скалярного и векторного произведений 138
§ 19. Преобразование прямоугольных координат в плоскости 141
§ 20. Линейные подпространства в Rn 145
§ 21. Теоремы фредгольмова типа 152
§ 22. Самосопряженный оператор. Квадратичная форма....161
§ 23. Квадратичная форма в двухмерном пространстве....173
§ 24. Кривая второго порядка 178
§ 25. Поверхность второго порядка в трехмерном пространстве 196
§ 26. Общая теория поверхности второго порядка в трехмерном пространстве 217
§ 27. Плоскость в Rn 223
§ 28. Линейное программирование 241
Предметный указатель 282
Том 2. СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие 9
Глава 1. ВВЕДЕНИЕ 11
§ 1.1. Предмет математики. Переменные и постоянные величины, множества 11
§ 1.2. Операции над множествами 13
§ 1.3. Символика математической логики 15
§ 1.4. Действительные числа 16
§ 1.5. Определение равенства и неравенства 20
§ 1.6. Определение арифметических действий 22
§ 1.7. Основные свойства действительных чисел... 29
§ 1.8. Аксиоматический подход к понятию действительного числа 31
§ 1.9. Неравенства для абсолютных величин 33
§ 1.10. Отрезок, интервал, ограниченное множество 34
§ 1.11. Счетное множество. Счетность множества рациональных чисел. Несчетность множества действительных чисел 35
Глава 2. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 39
§ 2.1. Понятие предела последовательности 39
§ 2.2. Арифметические действия с переменными, имеющими предел 47
§ 2.3. Бесконечно малая и бесконечно большая величины 50
§ 2.4. Неопределенные выражения 52
§ 2.5. Монотонные последовательности 54
§ 2.6. Число е 58
§ 2.7. Принцип вложенных отрезков 59
§ 2.8. Точные верхняя и нижняя грани множества 61
§ 2.9. Теорема Больцано—Вейерштрасса 66
§ 2.10. Верхний и нижний пределы 68
§ 2.11. Условие Коши сходимости последовательности 71
§ 2.12. Полнота и непрерывность множества действительных чисел 73
Глава 3. ФУНКЦИЯ. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ 75
§ 3.1. Функция » 75
§ 3.2. Предел функции 88
§ 3.3. Непрерывность функции 98
§ 3.4. Разрывы первого и второго рода 106
§ 3.5. Функции, непрерывные на отрезке 110
§ 3.6. Обратная непрерывная функция 115
§ 3.7. Равномерная непрерывность функции 118
§ 3.8. Элементарные функции 121
§ 3.9. Замечательные пределы 136
§ З.10. Порядок переменной. Эквивалентность 139
Глава 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ 144
§ 4.1. Производная 144
§ 4.2. Геометрический смысл производной 148
§ 4.3. Производные элементарных функций 156
§ 4.4. Производная сложной функции 158
§ 4.5. Производная обратной функции 160
§ 4.6. Производные элементарных функций (продолжение) 161
§ 4.7. Дифференциал функции 164
§ 4.8. Другое определение касательной 168
§ 4.9. Производная высшего порядка 169
§ 4.10. Дифференциал высшего порядка. Инвариантное свойство дифференциала первого порядка 171
§ 4.11. Дифференцирование параметрически заданных функций 174
§ 4.12. Теоремы о среднем значении 174
§ 4.13. Раскрытие неопределенностей 182
§ 4.14. Формула Тейлора 186
§ 4.15. Ряд Тейлора 192
§ 4.16. Формулы и ряды Тейлора элементарных функций 195
§ 4.17. Локальный экстремум функции 200
§ 4.18. Экстремальные значения функции на отрезке 205
§ 4.19. Выпуклость кривой. Точка перегиба 207
§ 4.20. Асимптота графика функции 212
§ 4.21. Непрерывная и гладкая кривая 215
§ 4.22. Схема построения графика функции 217
§ 4.23. Вектор-функция. Векторы касательной и нормали 222
Глава 5. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 227
§ 5.1. Неопределенный интеграл. Таблица интегралов 227
§ 5.2. Методы интегрирования 232
§ 5.3. Комплексные числа 239
§ 5.4. Теория многочлена п-й степени 244
§ 5.5. Действительный многочлен п-й степени .... 247
§ 5.6. Интегрирование рациональных выражений 250
§ 5.7. Интегрирование иррациональных функций 254
Глава 6. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 259
§ 6.1. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла, и его определение 259
§ 6.2. Свойства определенных интегралов 267
§ 6.3. Интеграл как функция верхнего предела ..275
§ 6.4. Формула Ньютона-Лейбница 278
§ 6.5. Остаток формулы Тейлора в интегральной форме 284
§ 6.6. Суммы Дарбу. Условия существования интеграла 286
§ 6.7. Интегрируемость непрерывных и монотонных функций 289
§ 6.8. Несобственные интегралы 291
§ 6.9. Несобственные интегралы от неотрицательных функций 296
§ 6.10. Интегрирование по частям несобственных интегралов 300
§ 6.11. Несобственный интеграл с особенностями в нескольких точках 302
Глава 7. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛОВ. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ 305
§ 7.1. Площадь в полярных координатах 305
§ 7.2. Объем тела вращения 306
§ 7.3. Гладкая кривая в пространстве. Длина дуги 307
§ 7.4. Кривизна и радиус кривизны кривой. Эволюта и эвольвента 316
§ 7.5. Площадь поверхности вращения 321
§ 7.6. Интерполяционная формула Лагранжа 323
§ 7.7. Квадратурные формулы прямоугольников и трапеций 326
§ 7.8. Формула Симпсона 330
Глава 8. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ 335
§ 8.1. Предварительные сведения 335
§ 8.2. Предел функции 338
§ 8.3. Непрерывная функция 345
§ 8.4. Частные производные и производная по направлению 350
§ 8.5. Дифференцируемые функции 356
§ 8.6. Применение дифференциала в приближенных вычислениях 360
§ 8.7. Касательная плоскость. Геометрический смысл дифференциала 364
§ 8.8. Производная сложной функции. Производная по направлению. Градиент ... 366
§ 8.9. Дифференциал функции. Дифференциал высшего порядка 372
§ 8.10.Формула Тейлора 378
§ 8.11. Замкнутое множество 380
§ 8.12. Непрерывная функция на замкнутом ограниченном множестве —386
§ 8.13. Экстремумы 391
§ 8.14. Нахождение наибольших и наименьших значений функции 397
§ 8.15.Теорема существования неявной функции.399
§ 8.16. Касательная плоскость и нормаль 404
§ 8.17. Системы функций, заданных неявно 407
§ 8.18. Отображения 414
§ 8.19. Условный (относительный) экстремум 416
Глава 9. РЯДЫ 425
§ 9. 1. Понятие ряда 425
§ 9.2. Несобственный интеграл и ряд 428
§ 9.3. Действия с рядами 430
§ 9.4. Ряды с неотрицательными членами 432
§ 9.5. Ряд Лейбница 438
§ 9.6. Абсолютно сходящиеся ряды 439
§ 9.7. Условно сходящиеся ряды с действительными членами 441
§ 9.8. Последовательности и ряды функций. Равномерная сходимость 442
§ 9.9. Интегрирование и дифференцирование равномерно сходящихся рядов 451
§ 9.10. Перемножение абсолютно сходящихся рядов 458
§ 9.11. Степенные ряды 462
§ 9.12. Дифференцирование и интегрирование степенных рядов 467
§ 9.13. Функции еz, sin z, cos z от комплексного переменного 474
§ 9.14. Ряды в приближенных вычислениях 478
§ 9.15. Понятие кратного ряда 487
§ 9.16.Суммирование рядов и последовательностей 496
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ 502
Том 3. СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие 8
Глава 1. Обыкновенные дифференциальные уравнения 11
§ 1.1. Задача, приводящая к дифференциальному уравнению 11
§ 1.2. Общие понятия 12
§ 1.3. Простейшие дифференциальные уравнения первого порядка.... ..............24
§ 1.4. Теорема существования решения дифференциального уравнения первого порядка 36
§ 1.5. Метрическое пространство 40
§ 1.6. Доказательство теоремы существования решения дифференциального уравнения первого порядка 47
§ 1.7. Метод Эйлера приближенного решения дифференциального уравнения первого порядка 51
§ 1.8. Уравнения, не разрешенные относительно производной 52
§ 1.9. Особые решения 56
§ 1.10. Огибающая семейства кривых 57
§ 1.11. Дифференциальное уравнение второго порядка 60
§ 1.12. Система из двух дифференциальных уравнений первого порядка 63
§ 1.13. Дифференциальное уравнение n-го порядка 65
§ 1.14. Понижение порядка дифференциального уравнения 69
§ 1.15. Линейные уравнения высшего порядка 73
§ 1.16. Линейные однородные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами 81
§ 1.17. Метод вариации постоянных 87
§ 1.18. Частное решение неоднородного уравнения с постоянными коэффициентами. Приложения 90
§ 1.19. Системы дифференциальных уравнений. Фазовое пространство 103
§ 1.20. Линейная однородная система дифференциальных уравнений 107
§ 1.21. Общее решение линейной однородной системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами 112
§ 1.22. Сведение системы уравнений к одному уравнению 121
§ 1.23. Неоднородная система линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами 124
§ 1.24. Интегрирование дифференциальных уравнений при помощи степенных рядов 128
§ 1.25. Элементы теории устойчивости 134
§ 1.26. Классификация точек покоя 142
Глава 2. Кратные интегралы 154
§ 2.1. Введение 154
§ 2.2. Сведения из теории меры Жордана 161
§ 2.3. Свойства кратных интегралов. Теоремы существования 168
§ 2.4. Сведение кратного интеграла к повторным.... 173
§ 2.5. Доказательство существования интеграла от непрерывной функции 185
§ 2.6. Замена переменных. Простейший случай 187
§ 2.7. Замена переменных. Общий случай 189
§ 2.8. Полярная система координат в плоскости....193
§ 2.9. Полярная система координат в пространстве 196
§ 2.10. Цилиндрические координаты 198
§ 2.11. Площадь поверхности 200
§ 2.12. Координаты центра масс 208
§ 2.13. Несобственные интегралы 213
§ 2.14. Несобственный интеграл с особенностями вдоль линии 218
§ 2.15. Несобственный интеграл, зависящий от параметра 219
Глава 3. Векторный анализ 230
§ 3.1. Кусочно-гладкая ориентированная кривая....230
§ 3.2. Криволинейный интеграл первого рода 233
§ 3.3. Интеграл от вектора вдоль кривой 235
§ 3.4. Поле потенциала 241
§ 3.5. Дифференциальное уравнение в полных дифференциалах 250
§ 3.6. Ориентация плоской области 252
§ 3.7. Формула Грина 254
§ 3.8. Интеграл по поверхности первого рода 259
§ 3.9. Ориентация поверхности 261
§ 3.10. Система координат и ориентация поверхности 264
§ 3.11. Интеграл по ориентированной плоской области 268
§ 3.12. Поток вектора через ориентированную поверхность 271
§ 3.13. Дивергенция. Теорема Гаусса-Остроградского 276
§ 3.14. Соленоидальное поле 284
§ 3.15. Формула Стокса 285
Глава 4. Ряды Фурье. Интеграл Фурье 291
§ 4.1. Тригонометрические ряды 291
§ 4.2. Сходимость тригонометрических рядов 297
§ 4.3. Ряд Фурье 299
§ 4.4. Признаки сходимости рядов Фурье 302
§ 4.5. Ортогональные свойства тригонометрических функций 306
§ 4.6. Коэффициенты Фурье 308
§ 4.7. Оценка коэффициентов Фурье 309
§ 4.8. Пространство функций со скалярным произведением .' 310
§ 4.9. Ортогональная система функций 314
§ 4.10. Полнота тригонометрических функций 318
§ 4.11. Комплексная форма ряда Фурье 322
§ 4.12. Понятие интеграла Фурье. Повторный интеграл Фурье 323
§ 4.13. Косинус- и синус-преобразования Фурье 331
§ 4.14. Примеры 332
§ 4.15. Приближение интеграла Фурье 336
§ 4.16. Сумма Фейера 337
§ 4.17. Полнота систем функций в С и L2' 343
§ 4.18. Сведения из теории кратных рядов Фурье....346
Глава 5. Уравнения математической физики 361
§ 5.1. Температура тела 361
§ 5.2. Задача Дирихле 363
§ 5.3. Задача Дирихле для круга 364
§ 5.4. Задача Дирихле для полуплоскости 366
§ 5.5. Уравнение теплопроводности в стержне 369
§ 5.6. Теплопроводность для бесконечного стержня 374
§ 5.7. Малые колебания струны 376
§ 5.8. Колебание бесконечной струны. Формула Даламбера 381
§ 5.9. Колебание круглой мембраны 382
§ 5.10. Общая задача Штурма-Лиувилля 387
§ 5.11. Интеграл энергии (Дирихле) 390
§ 5.12. Применение преобразований Фурье 395
Глава 6. Теория функций комплексного переменного 401
§ 6.1. Понятие функции комплексного переменного 401
§ 6.2. Производная функция комплексного переменного 404
§ 6.3. Условия Даламбера-Эйлера (Коши-Римана) 411
§ 6.4. Гармонические функции 415
§ 6.5. Обратная функция 419
§ 6.6. Интегрирование функций комплексного переменного 425
§ 6.7. Формула Коши 431
§ 6.8. Интеграл типа Коши 434
§ 6.9. Степенной ряд 435
§ 6.10. Ряд Лорана 438
§ 6.11. Классификация изолированных особых точек. Вычеты .444
§ 6.12. Классификация особых точек на бесконечности . 451
§ 6.13. Теорема о вычетах 454
§ 6.14. Вычисление интегралов при помощи вычетов 455
§ 6.15. Линейная функция. Дробно-линейная функция 462
Глава 7. Операционное исчисление 468
§ 7.1. Изображение Лапласа 468
§ 7.2. Изображение простейших функций и свойства изображений 470
§ 7.3. Приложения операционного исчисления 487
Глава 8. Обобщенные функции 495
§ 8.1. Понятие обобщенной функции 495
§ 8.2. Операции над обобщенными функциями 501
§ 8.3. Преобразование Фурье обобщенных функций 503
Предметный указатель 506
| 
