В книге дается систематическое изложение различных геометрий — евклидовой, аффинной, проективной, эллиптической, гиперболической, бесконечномерной. Проблемы различных геометрий рассматриваются с единой точки зрения, и всюду прослеживаются единые корни различных явлений. Все геометрические объекты исследуются с позиций двойственности. Подробно изложена теория коник и квадрик, в том числе и теория коник для неевклидовых геометрий. В книге изложено много ярких геометрических фактов, решено множество красивых геометрических задач. Многочисленные рисунки помогают яснее представить себе излагаемые геометрические теоремы. В конце глав приводятся задачи и упражнения, которые позволяют использовать книгу в качестве учебника.

Книга призвана способствовать развитию геометрических исследований и совершенствованию математического образования. Для школьников, студентов, учителей математики. Первое издание книги вышло в 1997 г.

 

Оглавление

Предисловие 6

Введение 10

Глава 1. Бвклидов мир 14

§1.1. Евклидовы прямая и плоскость 14

§1.2. Евклидово n-мерное пространство 31

§1.3. Введение в многомерный мир евклидовой геометрии 36

Глава 2. Аффинный мир 49

§2.1. Аффинная прямая и плоскость 49

§2.2. Аффинное пространство. Линейные уравнения и неравенства 61

§2.3. Введение в конечномерную выпуклую геометрию 63

Глава 3. Проективный мир 68

§3.1. Проективная прямая и плоскость 68

§3.2. Проективное n-мерное пространство 81

Глава 4. Коники и квадрики 86

§4.1. Плоские кривые второго порядка 86

§4.2. Некоторые дополнения 97

§4.3. Некоторые свойства квадрик 102

Глава 5. Мир неевклидовых геометрий 115

§5.1. Окружность и двумерная сфера 115

§5.2. Геометрия Лобачевского 124

§5.3. Изометрии в трех геометриях 144

Глава 6. Бесконечномерный мир 168

§6.1. Основные определения 168

§6.2. Формулировки теорем 173

§6.3. Доказательства теорем 176

§6.4. Заключительный комментарий 181

Дополнительные главы геометрии 184

§1. Геометрия и физика 184

§2. Многогранники и многоугольники 190

§3. Дополнительные вопросы проективной геометрии 200

§4. Специальные свойства коник и квадрик 221

§5. Дополнительные вопросы неевклидовых геометрий 237

Решения, указания, ответы 270

Предметный указатель 324

Именной указатель 327