|
Книга представляет собой введение в математический анализ. Наряду с изложением начал аналитической геометрии и математического анализа (дифференциального и интегрального исчисления) книга содержит понятия о степенных и тригонометрических рядах и о простейших дифференциальных уравнениях, а также затрагивает ряд разделов и тем из физики (механика и теория колебаний, теория электрических цепей, радиоактивный распад, лазеры и др.)
Книга рассчитана на читателей, интересующихся естественнонаучными приложениями высшей математики, преподавателей вузов и втузов, а также будущих физиков и инженеров.
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие.
К читателю.
Предисловие для преподавателей.
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ. ЭЛЕМЕНТЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ.
Глава 1. ФУНКЦИИ И ГРАФИКИ.
§ 1. Функциональная зависимость.
§ 2. Координаты. Расстояния и углы, выраженные в координатах.
§ 3. Графическое изображение функций. Уравнение прямой.
§ 4. Обратная пропорциональность и гипербола. Парабола.
§ 5. Параболы и гиперболы высших порядков. Полукубическая парабола.
§ 6. Обратная функция. Графики взаимно-обратных функций.
§ 7. Преобразования графиков функций.
§ 8. Параметрическое задание линий.
§ 9*. Некоторые дополнительные сведения из аналитической геометрии.
Глава 2. ЧТО ТАКОЕ ПРОИЗВОДНАЯ.
§ 1. Движение, путь и скорость.
§ 2*. Теплоемкость тела. Расширение тел при нагревании.
§ 3. Производная. Простейшие примеры вычисления производных.
§ 4. Первые свойства производной. Приближенное вычисление значений функции с помощью производной.
§ 5. Касательная к кривой.
§ 6. Рост и убывание функции. Максимумы и минимумы.
§ 7. Вторая производная функции. Выпуклость и вогнутость кривой. Точки перегиба.
Глава 3. ЧТО ТАКОЕ ИНТЕГРАЛ.
§ 1. Определение пути по скорости движения и определение площади, ограниченной кривой.
§ 2. Определенный интеграл.
§ 3. Связь между интегралом и производной.
§ 4. Неопределенный интеграл.
§ 5. Свойства интегралов.
§ 6. Примеры и приложения.
Глава 4. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНЫХ.
§ 1. Дифференциал.
§ 2. Производная суммы и произведения функций.
§ 3. Сложная; функция. Производная частного двух функций.
§ 4. Обратная функция. Параметрическое задание функции.
§ 5. Степенная функция.
§ 6. Производные алгебраических функций.
§ 7. Показательная функция.
§ 8. Число е.
§ 9. Логарифмы.
§ 10. Тригонометрические функции.
§ 11. Обратные тригонометрические функции.
§ 12. Производная функции, заданной неявно.
Глава 5. ТЕХНИКА ИНТЕГРИРОВАНИЯ.
§ 1. Постановка задачи.
§ 2. Простейшие интегралы.
§ 3. Общие свойства интегралов.
§ 4. Интегрирование по частям.
§ 5. Метод подстановки.
§ 6. Замена переменной в определенном интеграле.
Глава 6. РЯДЫ. ПРОСТЕЙШИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ.
§ 1. Представление функций в виде рядов.
§ 2. Вычисление значений функций при помощи рядов.
§ 3. Случаи неприменимости рядов. Геометрическая прогрессия.
§ 4. Бином Ньютона для целых и дробных показателей.
§ 5. Порядок возрастания и убывания функций. Правило Бернулли-Лопиталя.
§ 6. Дифференциальные уравнения первого порядка. Случай разделяющихся переменных.
§ 7*. Дифференциальное уравнение вытекания воды.
Глава 7. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ. НЕСКОЛЬКО ЗАДАЧ ИЗ ГЕОМЕТРИИ.
§ 1. Гладкие максимумы и минимумы.
§ 2. Негладкие максимумы и минимумы. Изломы и разрывы. Левая и правая производные функции.
§ 3*. Выпуклые функции и алгебраические неравенства.
§ 4. Вычисление площадей.
§ 5*. Оценки некоторых сумм и произведений.
§ 6*. Еще о натуральном логарифме.
§ 7. Средние значения.
§ 8. Длина кривой.
§ 9. Кривизна и соприкасающаяся окружность.
§ 10. Стереометрические приложения интегрального исчисления.
§ 11. Как строить кривые.
ЧАСТЬ ВТОРАЯ. ПРИЛОЖЕНИЯ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ К НЕКОТОРЫМ ВОПРОСАМ ФИЗИКИ И ТЕХНИКИ.
Глава 8. РАДИОАКТИВНЫЙ РАСПАД И ДЕЛЕНИЕ ЯДЕР.
§ 1. Основные характеристики радиоактивного распада.
§ 2. Измерение среднего времени жизни радиоактивных атомов.
§ 3. Последовательный распад (радиоактивное семейство).
§ 4. Исследование решения для радиоактивного семейства.
§ 5. Цепная реакция деления урана.
§ 6. Размножение нейтронов в большой массе.
§ 7. Вылет нейтронов.
§ 8. Критическая масса.
§ 9. Подкритическая и надкритическая массы при непрерывном источнике нейтронов.
§ 10. Значение критической массы.
Глава 9. МЕХАНИКА.
§ 1. Сила, работа, мощность.
§ 2. Энергия.
§ 3. Равновесие и устойчивость.
§ 4. Второй закон Ньютона.
§ 5. Импульс силы.
§ 6. Кинетическая энергия.
§ 7. Инерwиальные и неинерциальные системы отсчета.
§ 8*. Преобразования Галилея. Энергия в движущейся системе отсчета.
§ 9*. Траектория снаряда. Парабола безопасности.
§ 10. Движение тел в космическом пространстве.
§ 11. Реактивное движение и формула К.Э.Циолковского.
§ 12. Масса, центр тяжести и момент инерции стержня.
§ 13*. Центр тяжести нити и пластинки.
§ 14. Движение тела в среде, противодействующей движению, под действием силы, зависящей только от скорости.
§ 15*. Движение тел в жидкостях и газах.
Глава 10. КОЛЕБАНИЯ.
§ 1. Движение под действием упругой силы.
§ 2. Случай силы, пропорциональной отклонению. Гармонические колебания.
§ 3. Маятник.
§ 4. Энергия колебаний. Затухающие колебания.
§ 5. Вынужденные колебания и резонанс.
§ 6. О точных и приближенных решениях физических задач.
§ 7. Сложение колебаний. Биения.
§ 8. Задача о колеблющейся струне.
§ 9. Гармонический анализ функций. Ряды Фурье.
Глава 11. ТЕПЛОВОЕ ДВИЖЕНИЕ МОЛЕКУЛ. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПЛОТНОСТИ ВОЗДУХА В АТМОСФЕРЕ.
§ 1. Условие равновесия в атмосфере.
§ 2. Связь между плотностью и давлением.
§ 3. Распределение плотности.
§ 4. Молекулярно-кинетическая теория распределения плотности.
§ 5. Броуновское движение и распределение молекул по кинетической энергии.
§ 6. Скорости химических реакций.
§ 7. Испарение. Ток эмиссии катода.
Глава 12. ПОГЛОЩЕНИЕ И ИЗЛУЧЕНИЕ СВЕТА. ЛАЗЕРЫ.
§ 1. Поглощение света (постановка задачи и грубая оценка).
§ 2. Уравнение поглощения и его решение.
§ 3. Соотношение между точным и грубым расчетами поглощения.
§ 4. Эффективное сечение.
§ 5. Ослабление потока заряженных частиц α- и β-лучей.
§ 6*. Поглощение и испускание света горячим газом.
§ 7*. Термодинамическое равновесие излучения.
§ 8*. Вероятность излучения и условия термодинамического равновесия.
§ 9*. Лазеры.
Глава 13. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ И КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ ЯВЛЕНИЯ В НИХ.
§ 1. Основные понятия и единицы измерения.
§ 2. Разряд емкости через сопротивление.
§ 3. Колебания в цепи емкости с искровым промежутком.
§ 4. Энергия конденсатора.
§ 5. Цепь с индуктивностью.
§ 6. Размыкание цепи с индуктивностью.
§ 7. Энергия индуктивности.
§ 8. Колебательный контур.
§ 9. Затухающие колебания.
§ 10*. Случай большого сопротивления.
§ 11. Переменный ток.
§ 12. Средние величины. Мощность и сдвиг фазы.
§ 13. Колебательный контур в цепи переменного тока. Резонанс напряжений.
§ 14. Параллельное включение индуктивности и ^емкости. Резонанс токов.
§ 15. Общие свойства резонанса линейной системы.
§ 16*. Ток смещения и электромагнитная теория света.
§ 17*. Нелинейное сопротивление и туннельный диод.
ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ТЕМЫ ИЗ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ.
Глава 14. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА.
§ 1. Основные свойства комплексных чисел.
§ 2. Возведение в мнимую степень и число e.
§ 3. Тригонометрические функции и логарифмы.
§ 4*. Тригонометрические функции мнимого аргумента. Гиперболические функции.
Глава 15. КАКИЕ ФУНКЦИИ НУЖНЫ ФИЗИКУ?
§ 1. Аналитические функции вещественной переменной.
§ 2. Производные функций комплексной переменной.
Глава 16. ЗАМЕЧАТЕЛЬНАЯ ДЕЛЬТА-ФУНКЦИЯ ДИРАКА.
§ 1. Различные способы определения функции.
§ 2. Дирак и его функция.
§ 3. Разрывные функции и их производные.
§ 4. Представление дельта-функции формулами.
Глава 17. НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ И ДЕЛЬТА-ФУНКЦИИ.
§ 1. Комплексные числа и механические колебания.
§ 2. Интегралы в комплексной области.
§ 3. Аналитические функции комплексной переменной и течение жидкости.
§ 4. Применения дельта-функции.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ. ЧТО ЖЕ ДАЛЬШЕ?
ЛИТЕРАТУРА.
ПРИЛОЖЕНИЯ.
I. Таблица производных.
II. Интегралы от некоторых функций.
III. Некоторые разложения функций в ряды.
IV. Некоторые числовые таблицы.
V. Международная система физических единиц СИ.
VI. Латинский и греческий алфавиты.
ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ, РЕШЕНИЯ.
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ.
| 
