Книга «Высшая математика для начинающих и ее приложения к физике», написанная физиком-теоретиком академиком Я. Б. Зельдовичем, рассчитана на школьников старших классов, учащихся техникумов и лиц, занимающихся самообразованием, она может быть полезна и студентам 1-го курса вузов и втузов.

В книге в наиболее простой, наглядной и доступной форме объясняются основные понятия дифференциального и интегрального исчисления. Далее даются сведения, необходимые для практического применения высшей математики к задачам физики и техники. На основе высшей математики рассмотрено большое число физических вопросов: радиоактивный распад, ядерная цепная реакция, законы механики, в частности, реактивное движение и космическая скорость, молекулярное движение. Рассмотрены электрические явления и, в частности, теория колебаний, лежащая в основе радиотехники. Наряду с математическим исследованием очень подробно изложена физическая сущность рассматриваемых явлений.

 

Из предисловия:
Высшей математикой называют дифференциальное и интегральное исчисление в отличие от алгебры, геометрии и тригонометрии, изучение которых заканчивается в средней школе.

Основные понятия высшей математики — производная и интеграл — необходимы для описания физических явлений, для точной формулировки законов природы.
Эти основные понятия уже давно стали необходимой частью знаний каждого культурного человека наряду, например, с пониманием того, что неизвестную величину можно обозначать буквой х и производить с этой буквой алгебраические действия. Понятия высшей математики необходимы везде, где мы имеем дело с изменяющимися величинами, с функциональной зависимостью одних величин от других. В настоящее время существует большое число учебников высшей математики. Естественно возникает вопрос о том, каково отличие предлагаемой книги от изданных ранее, какие новые цели ставил перед собой автор. Таким общим отличием является иное отношение к читателю. Можно представить себе читателя «упирающегося», требующего точного и строгого доказательства всех положений, которые дает ему автор, выискивающего возражения и исключения. Для такого читателя предмет следует излагать в виде строгой и стройной цепи доказательств и теорем, заставляя этого читателя признать правильность теорем. Многие учебники построены именно таким образом.

Предлагаемая книга рассчитана на совершенно другого читателя — читателя, который хочет понять, что такое высшая математика, и научиться ее применению, т. е. читателя, который не упирается, а сам тянется вперед. Такого читателя не надо «подталкивать», с ним можно идти рядом и дружески беседовать.

Основной упор в книге сделан не на доказательства, а на пояснения при помощи примеров. Сначала на наглядных примерах выяснены смысл наиболее трудных понятий, спо¬соб их применения, их полезность и значение. Уже после этого даются более строгие и точные формулировки.

Для чтения книги достаточно знания основ алгебры, геометрии и тригонометрии в объеме, значительно меньшем программ средней школы. Поэтому книга вполне доступна для школьников 9—11 классов и для лиц, не имеющих законченного среднего образования.

СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие 7
Часть I. Функции и графики 11
§ 1. Функциональная зависимость 11
§ 2. Координаты 14
§ 3. Геометрические величины, выраженные через координаты 17
§ 4. Графическое изображение функций. Уравнение прямой 22
§ 5. Парабола 27
§ 6. Кубическая парабола, гипербола, круг 35
§ 7. Изменение масштабов кривой 38
§ 8. Параметрическое задание кривой 46
Заключение 48
Ответы и решения 49
Часть II. Понятие производной и интеграла 50
§ 1. Движение, путь и скорость 50
§ 2. Производная функции—предел отношения приращений 57
§ 3. Обозначения производной. Производная степенной функции 60
§ 4. Приближенное вычисление функции с помощью производной 66
§ 5. Касательная к кривой 69
§ 6. Рост и убывание, максимум и минимум функций ... 77
§ 7. Определение пути по скорости движения и площадь под кривой 82
§ 8. Определенный интеграл 89
§ 9. Связь между интегралом и производной 96
§ 10. Интеграл от производной 98
§ 11. Неопределенный интеграл . 100
§ 12. Свойства интегралов 108
§ 13. Средние значения 113
§ 14. Различные примеры производных и интегралов . . .118
Заключение 126
Ответы и решения 126
Часть III. Вычисление производных и интегралов 130
§ 1. Знак дифференциала. Производная суммы функций . 130
§ 2. Производная обратной функции . 132
§ 3. Сложная функция 134
§ 4. Производная произведения функций 137
§ 5. Степенная функция . 140
§ 6. Производные алгебраических функций с постоянными показателями 144
§ 7. Показательная функция 145
§ 8. Число е 148
§ 9. Логарифмы .. ... 152
§ 10. Тригонометрические функции 155
§ 11. Обратные тригонометрические функции . .160
§ 12. Производная функции, заданной неявно 163
§ 13. Интеграл. Постановка задачи 166
§ 14. Простейшие интегралы ... 168
§ 15. Общие свойства интегралов . .  169
§ 16. Замена переменной в определенном интеграле . . . 176
§ 17. Ряды 182
§ 18. Вычисление значений функций при помощи рядов . 190
§ 19. Условие применимости рядов. Геометрическая прогрессия 195
§ 20. Бином Ньютона для целых и дробных показателей.. . ?03
§ 21. Порядок возрастания и убывания функций 206
Ответы и решения 212
Приложение к части III . .218
Часть IV. Приложения дифференциального и интегрального исчисления к исследованию функций и геометрии 225
§ 1. Касательная, нормаль и ряд Тейлора . , 225
§ 2. Кривизна и касающийся круг ; 228
§ 3. Исследование максимумов и минимумов функций при помощи второй производной 237
§ 4. Исследование графика многочлена третьей степени . 247 § 5. Другие виды максимумов и минимумов. Изломы и разрывы 250
§ 6. Эллипс : . . 259
§ 7. Вычисление площадей 262
§ 8. Средние значения . . . 267
§ 9. Длина дуги кривой и кривизна 270
§ 10. Приближенное вычисление длины дуги 273
§ 11. Вычисление объемов. Объем и поверхность тела вращения  279
Отваты и решения 283
Часть V. Вытекание воды. Радиоактивный распад и деление ядер. Поглощение света 289
§ 1. Вытекание воды из сосуда. Постановка задачи . . . 289
§ 2. Решение уравнения в случае, когда производная зависит от искомой функции 293
§ 3. Радиоактивный распад . 296
| 4. Измерение среднего времени жизни радиоактивных атомов 300
§ 5. Последовательный распад (радиоактивное семейство) 310

§ 6. Исследование решения для радиоактивного семейства 314
§ 7. Цепная реакция деления урана 320
§ 8. Размножение нейтронов в большой массе 322
§ 9. Вылет нейтронов 325
в 10. Критическая масса 327
§ 11. Подкритическая и надкритическая масса при непрерывном источнике нейтронов 331
§ 12. Величина критической массы . .  334
§ 13. Поглощение света. Постановка задачи и грубая оценка 335
§ 14. Уравнение поглощения и его решение 338
§ 15. Соотношение между точным и грубым расчетом . . 339
§ 16. Эффективное сечение 341
§ 17. Ослабление потока заряженных частиц—а- и р-лучей 343
Ответы и решения 346
Часть VI. Механика 347
§ 1. Сила, работа, мощность 347
§ 2. Энергия .  356
§ 3. Равновесие и устойчивость 364
§ 4. Второй закон Ньютона 372
§ 5. Импульс силы 374
§ 6. Кинетическая энергия .  378
§ 7. Движение под действием силы, зависящей только от скорости 383
§ 8. Движение под действием упругой силы 391
§ 9. Колебания 398
§ 10. Энергия колебаний. Затухающие колебания .... 405
§ 11. Вынужденные колебания и резонанс 410
§ 12. О точных и приближенных решениях физических задач 413
§ 13. Реактивное движение и формула К- Э. Циолковского 421
§ 14. Траектория снаряда  432
§ 15. Масса, центр тяжести и момент инерции стержня . 437
§ 16. Колебания подвешенного стержня 446
Ответы и решения 448
Часть VII. Тепловое движение молекул и распределение плотности воздуха в атмосфере 458
§ 1. Условие равновесия в атмосфере 458
§ 2. Связь между плотностью и давлением 460
§ 3. Распределение плотности 462
§ 4. Молекулярно-кинетическая теория распределения плотности 465
§ 5. Броуновское движение и распределение молекул по кинетической энергии 470
§ 6. Скорости химических реакций 473
§ 7. Испарение. Ток эмиссии катода 475
Ответы и решения 479
Часть VIII. Электрические цепи и колебательные явления в них 480
§ 1. Основные понятия и единицы измерения 480
§ 2. Разряд емкости через сопротивление 490
§ 3. Колебания в цепи емкости с искровым промежутком 494
§ 4. Энергия конденсатора 498
§ 5. Цепь с индуктивностью 505
§ 6. Размыкание цепи с индуктивностью 509
§ 7. Энергия индуктивности 513
§ 8. Колебательный контур 520
§ 9. Затухающие колебания 525
§ 10. Случай большого сопротивления . 529
§ 11. Переменный ток 532
§ 12. Средние величины, мощность и сдвиг фазы . 538

§ 13. Колебательный контур в цепи переменного тока. Резонанс напряжений 541
§ 14. Параллельное включение индуктивности и емкости. Резонанс токов 545
§ 15. Ток смещения и электромагнитная теория света  . 549

§ 16. Нелинейное сопротивление и туннельный диод  551
Ответы и решения 557
Приложение. Латинский алфавит. Греческий алфавит . 560