АННОТАЦИЯ

Книга «Введение в высшую математику» предназначается главным образом для самообразования. Она также годится для студентов тех учебных заведений, в которых на математику отведено 120—150 часов. Автор надеется, что, кроме того, эта книга может быть использована и другими учебными заведениями в качестве материала, развивающего математическую интуицию, необходимую при чтении учебников математического анализа. В этой книге далеко не все доказывается, однако нельзя сказать, чтобы в книге давалась только рецептура.

Большое внимание обращено на приложения дифференциального и интегрального исчислений.

Неопределенный интеграл дается в минимальном объеме, необходимом для решения задач на приложения определенного интеграла.

Из предисловия:

Эта книга появилась в результате того, что в течение ряда лет я преподавал небольшой курс высшей математики, рассчитанный на 130 часов. Материал, изложенный в книге, был посилен учащимся, и они его усваивали.

В предлагаемой книге напоминаются некоторые разделы из курса средней школы, которые, как показывает опыт, или забываются или же просто плохо проходятся, как, например, построение графиков квадратного трехчлена, радианная мера угла и др.

При написании этой книги я счел возможным использовать идеи Ф. Клейна, выдвинутые им по поводу геометрии. Клейн говорил, что нелепо при начальном обучении доказывать теоремы, которые кажутся учащимся очевидными. Он считал, что сначала надо сделать ясным, что надо и почему надо доказывать, т. е. сначала сделать теорему неочевидной, и только после этого переходить к ее доказательству. Конечно, это надо делать не по отношению к единичной теореме, а по отношению к целому разделу. Мне кажется, что эти соображения относятся и к так называемой высшей математике. Действительно, если объекты геометрии при самой элементарной абстракции можно видеть в окружающем мире, то для того, чтобы видеть объекты высшей математики, нужна привычка к более глубокой абстракции.

Исходя из этих соображений, я считаю, что, например, понятие предела, которое требует предварительного интуитивного прочувствования, можно развить, давая предварительно примеры, продвигающие учащегося к пониманию этого понятия, Доказывать теоремы о пределах в таком небольшом курсе не только бесполезно, но, пожалуй, даже вредно. Эти теоремы должны сообщаться учащимся в качестве свойств предела, присущих ему, т. е., собственно говоря, включаться в определение предела.

 

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие б
Глава I. Координаты 
§ 1. Координаты на прямой 9
§ 2. Координаты на плоскости 14
Упражнения к гл. I 20
Глава II. Линейная функция  
§ 1. Определение и геометрический смысл 21
§ 2. Основное свойство линейной функции 25
§ 3. Задачи на прямую   26
§ 4. Общее уравнение прямой. Неявная линейная функция 29
§ 5. Система двух уравнений первой степени 30
§ 6. Примеры применения линейной функции 31
Упражнения к гл. II  33
Глава III. Квадратичная функция
§ 1. Парабола   34
§ 2. Параллельный перенос осей координат 36
§ 3. Исследование функции у = ах2 + bх + с      37
Упражнения к гл. III    42
Глава IV. Некоторые функции элементарной математики и простые неявные функции
§ 1. Тригонометрические функции. Радианная мера угла  43
§ 2. Показательная функция 49
§ 3. Логарифмическая функция 50
§ 4. Некоторые простые неявные функции 51
Упражнения к гл. IV    57
Глава V. Общее определение функции  
§ 1. Примеры и определения 59
§ 2. Область существования функции 63
§ 3. Функция от функции, или сложная функция  63
§ 4. Приращение функции  65
Упражнения к гл. V   66
Глава VI. Пределы  
§ 1. Примеры 67
§ 2. Исследование функции при значениях независимого переменного, как угодно малых по абсолютной величине 69
§ 3. Определения предела  71
§ 4. Свойства пределов 74
§ 5. Предел lim (l+x)x . Число е   78
§ 6. Непрерывные функции  79
§ 7. Решение задач на нахождение пределов  81
Упражнения к гл. VI   87
Глава VII. Производная  
§ 1. Скорость 88
§ 2. Касательная 90
§ 3. Производная 91
§ 4. Правила вычисления производных  94
§ 5. Простейшие применения производной 104
§ 6. Вторая производная. Производные высших порядков 108
Упражнения к гл. VII   109
Глава VIII. Применение производной к исследованию функций 
§ 1. Возрастание и убывание функции  110
§ 2. Исследование функций на возрастание и убывание  113
§ 3. Максимальные и минимальные значения функции  115
§ 4. Выпуклость и вогнутость линии. Точка перегиба   124
§ 5. Общий план исследования функций и построения графиков 127
§ 6. Связь между графиком функции и графиком ее производной 133
Упражнения к гл. VIII  134
Глава IX. Дифференциал  
§ 1, Бесконечно малые величины 136
§ 2. Дифференциал  138
§ 3. Применение к приближенным вычислениям  141
§ 4. Дифференциал площади криволинейной трапеции    143
§ 5. Применение дифференциала к различным задачам  146
Упражнения к гл. IX   150
Глава X. Неопределенный интеграл  
§ 1. Первообразная и неопределенный интеграл  151
§ 2. Преобразования неопределенных интегралов  154
§ 3. Замена переменного интегрирования (метод подстановки) 157
Упражнения к гл. X    160
Глава XI. Определенный интеграл 
§ 1. Приближенное вычисление площадей криволинейных трапеций 161
§ 2. Определенный интеграл 166
§ 3. Вычисление определенного интеграла при помощи первообразной функции  167
§ 4. Свойства определенного интеграла 169
Упражнения к гл. XI    172
Глава XII. Задачи на применение определенного интеграла 
§ 1. Общие замечания  173
§ 2. Площадь криволинейной трапеции  174
§ 3. Объем тела вращения 179
§ 4. Объем тела, у которого известны площади поперечных сечений 181
§ 5. Вычисление давления жидкости 183
§ 6. Вычисление работы силы 186
§ 7. Длина дуги   188
Упражнения к гл. XII   190
Глава XIII. Приближенное вычисление определенных интегралов 
§ 1. Вычисление при помощи интегральных сумм   192
§ 2. Формула Симпсона  194
Глава XIV. Функции многих переменных. Координаты в пространстве. Поверхности
§ 1. Функции многих переменных 201
§ 2. Координаты в пространстве  202
§ 3. Некоторые простые уравнения  205
§ 4. Поверхности   206
§ 5. Линии уровня   211
§ 6. Частные производные    213
Упражнения к гл. XIV      217
Глава XV. Дифференциальные уравнения
§ 1. Семейство функций  219
§ 2. Основные определения  222
§ 3. Дифференциальные уравнения первого порядка   224
§ 4. Некоторые дифференциальные уравнения, встречающиеся в механике 230
§ 5. Движение точки на плоскости. Система дифференциальных уравнений 235
Упражнения к гл. XV    238
Ответы 240
Приложение к § 1 гл. XI    243